云南师范大学概率论实验报告定积分的计算.doc

数学实验报告 实验序号：5 日期：2004 年 5月 7日 班级 B班 姓名 学号 实验 名称 用Monte-Carlo方法计算定积分(随机投点法和平均值法) 问题的背景： 不少统计问题,如计算概率，各阶矩等,最后都归结为定积分的近似计算问题(特别是高维积分).这一方法是求解数学物理,工程技术及经济管理近似的数值常用方法. 实验目的： 1. 学习和掌握Excel的有关命令. 2. 进一歩理解大数定律. 3. 掌握随机模拟的思路. 4. 比较两种方法的精度.(n=100,1000,10000) 实验原理与数学模型： 随机投点法 设定积分其中在[0，1]上连续，且有. 设服从[0,1;0,1]上的均匀分布，则可知服从[0,1]上的均匀分布，且独立.因为，所以，定积分的值就是事件的概率.这样，根据大数定律，我们可以用频率来近似概率. 具体做法如下：先产生2上均匀的随机数：.然后 的次数，最后的估计值，即 注：为了计算一般的定积分，我们可以这样来解决.设，其中有界，不妨设. 令 则有 我们只要求即可. （2） 平均值法 设其中在[0，1]上连续，再设服从[0,1]上的均匀分布，则的数学期望为，所以估计的值就是估计的数学期望的值.由辛钦大数定律，可以用的观察值的平均值去估计的数学期望.具体做法如下：先产生上均匀的随机数：.然后对每个计算，最后的估计值，即 实验所用软件及版本：Microsoft office Excel 2010 主要内容(要点): (1)用随机投点法和平均值法计算定积分: (2)比较两种方法的精度.(n=100,1000,10000.对每一个n重复做5次),本次实验报告只做了n=1000的情况 实验过程：（含解决方法和基本步骤，主要程序清单及异常情况记录等） 随机投点法： 估计定积分 令 当. （1）从主菜单中选择【工具|数据分析】，在【数据分析】对话框中滚动列表框，选择“随机数发生器”选项，如图9－1 （2）重重两次可得1000对随机数，作变换，然后进行比较，如图所示，最后进行数数，得k=389,s=0.389具体如下所示 . 估计定积分 下面我们估计，从上面不难得到S2=0.389，所以 ＝3.028 实验过程：（含解决方法和基本步骤，主要程序清单及异常情况记录等） 平均值法： （1）从主菜单中选择【工具|数据分析】，在【数据分析】对话框中滚动列表框，选择“随机数发生器”选项，如图所示： 估计定积分 因为所以我们首先产生 （－1，1）的均匀随机数.其它类似. 如图所示 估计定积分 令 . 由上表可以算得：＝0.401 所以，J2=2*c2=0.741755.从上述结果可以看出，误差较大，必须加大容量. 实验结果与实验总结(体会)： 通过本实验的两种方法的使用，将定积分用两种不同的方法计算出来，并得到不同的结果。该两种方法是基于不同的思想原理和步骤进行的。我们在学习和使用这两种方法的过程中必须明确它们各自的原理与不同点，也要求客观的评价和使用这两种方法。当然，作为数学软件的使用，它们都是各有千秋的。 进一步讨论或展望: 随机投点法与平均执法相比更复杂，它比平均值法多了一步的比较。而且，平均值法的精度比随机投点发的精度更小。