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一元非线性方程的解法习题课 一、教学目标及基本要求 通过对本节课的学习，使学生掌握方程求根的数值解法。 二、教学内容及学时分配 本章主要介绍方程求根的迭代法。 三、教学重点难点 1．教学重点：各种方法串讲一遍，并举例说明用法。 2. 教学难点：非线性方程迭代法。 四、教学中应注意的问题 多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解迭代收敛性。 五、正文 若((x)是非线性函数，则((x)=0称为一元非线性方程 若((x)是多项式函数，则((x)=0称为代数方程 若((x)是含超越函数，则((x)=0称为超越方程 若((x*)=0，则称x*为方程((x)=0的根，或称为函数((x)的零点。 若((x)=(x-x*)kg(x), g(x*)(0，则称x*为方程((x)=0的k重根，或称为函数((x)的k重零点。 x*为函数((x)的k重零点 ( ((x*)=(((x*)=…=((k-1)(x*)=0, ((k)(x*)(0 1、二分法 二分法或称对分法是求方程近似解的一种简单直观的方法。 问题：设函数((x)在[a, b]上连续，且((a) ((b)0，则((x)=0在[a, b]内至少有一零点，[a, b]称有根区间，若((x)=0在[a, b]内有唯一根x*，求满足精度(要求的近似根.。 二分法的基本思想：-----计算中通过对分区间、缩小区间范围的步骤有哪些信誉好的足球投注网站零点的位置。 二分法的计算过程如下：(结合图, 教学) 把[a,b]二等分，分点x0=(a+b)/2, 若((x0)=0, 则实根x*=x0，计算结束，否则 若((x0) ((a)0, 则x*((a,x0), 取a1=a,b1=x0, 否则x*((x0,b), 取a1=x0,b1=b, 得有根区[a1,b1], 其长度是原[a,b]的一半。 (2) 重复上述步骤，把[a1,b1]二等分，分点x1=(a1+b1)/2, 若((x1)(0, 又的得有根区[a2,b2], 其长度是[a1,b1]的一半。 (3) 如此反复下去，若((xk)(0, 则可的一列有根区间： [a,b]([a1,b1] ( [a1,b1] (…( [ak,bk] (… 其中[ak,bk]的长度是[ak-1,bk-1]的一半, lin(bk-ak)=0, limxk=x* 实际计算时，可按精度(要求结束二分法过程： (1) 当(bk+1-ak+1((时，有(x*-xk((,计算结束 (2) 要(x*-xk((, 只需 即 k+1 ∴ 作k+1次二分法，计算结束。 例 用二分法求解((x)=x4-x-10.27=0在区间（1, 2）上的根, 精确到10-2。 解：(1) ((1)= -10, ((2)=4 ，有根区间[1, 2] (2) x0=(1+2)/2=1.5, ((1.5)= -6.707, 有根区间[1.5, 2] (3) x2=(1.5+2)/2=1.75, ((1.75)= -2.641, 有根区间[1.75, 2] … 结果见表2.1 b7-a7≈0.007810-2, (x*-x7((=0.5(10-2, ∴x*≈x=1.863 例 证明 1-x-sinx=0在[0,1]内有唯一实根，使用二分法求误差不大于0.5(10-4的根要二分多少次？ 解：(1) ((x)= 1-x-sinx, ((0)=10, ((1)= -sin10, ∴((x)在[0,1]内有实根; 又 在(0,1)内 (((x)= -1-conx0, ((x)单调减少，∴((x) 在[0,1]内有唯一实根， （2）(=0.5(10-4，k+1=≥14.2788 ∴ 要二分15次 计算机上机时二分法的计算步骤：------（课外阅读） 二分法的特点：------（课外阅读） §6.2 迭代法（逐次逼近法） 迭代法及其几何意义 问题：若((x)=0在[a, b]内有一根x*，求((x)=0满足精度( 要求的近似根.。 迭代法思想方法：----- 将((x)=0转换成等价形式：x=g(x), (g(x)称迭代函数) 给定初值x0，构造迭代序列: xx+1=g(xx) , k=0.1.2. … limx k+1=limg(xk)=a时迭代法收敛(否则发散), 则a就是方程((x)=0的根。 k(( k(( 在计算中, 当(xk+1-xk(( 时取a=xk+1为方程的根。 几何意义------(1) 将求((x)=0的根转换成求：y=x, y=g(x) 的交点P*(x, g(x)) (2) 构造点列：{Pk (xk,g(xk))} 逼近交点P*(x, g(x)) (图2-2) 例 求((x)=x5-2x-1=0在区间（1, 2）内的根, 用6位有效数字计算。 解： ((1)= -2, ((2)