一阶微分方程式.docVIP

第二章 線性微分方程式 習題2-1 1. 試說明下列方程式何者為線性、非線性、齊次，或非齊次微分方程 (a) (e) (b) (f) (c) (g) (d) 解： (a)二階線性常係數非齊次微方方程 (b)二階非線性微分方程 (c)二階非線性微分方程 (d)二階線性常係數齊次微分方程 (e)二階非線性微分方程 (f)二階線性變係數齊次微分方程 (g)二階線性常係數非齊次微分方程 2. 判斷下列微分方程式之型態 (a) (b) (c) (d) (e) 解： (a)一階常係數非齊次線性微分方程式 (b)二階常係數非齊次非線性微分方程式 (c)二階變係數齊次線性微分方程式 (d)二階常係數非齊次線性微分方程式 (e)二階常係數齊次線性微分方程式 習題2-2 解下列常係數齊次微分方程式 1. 解 解： 下列各題大致都先求(1)特性分程式(2)解特性方程式(3)依(2,6)(2,9)(2,11)寫出其通解 ∵ ， 依(2,6)式得 2. 解 解： ∵ ∴ 依(2,11)式得 3. 解 解： ∵ 依(2,9)式得 4. 解 解： ∵ ，∴ 5. 解 解： ∵ ∴ ∴ 6. 解 解： ∵ ∴ 7. 解 解： ∵ ∴ ∴ 8. 解 解： ∵ ∴ ∴ 9. 解 解： ∵ ∴ ∴ 10. 解 解： ∵ ∴ ∴ 11. 解 解： ∵ ∴ ∴ 12. 解 解： ∵ ∴ ∴ 13.解 解： ∵ ∴ ∴ 14. 解 解： ∵ ∴ ∴ 習題2-3 解下列初值或邊界值問題 1. 解，， 解： 由2-2習題6得 代入初值 解之得， 故 2. 解邊界值問題， 解： 由2-2習題4得 及 代入邊界值 故 3. 解初值問題， 解： ∵ 特性方程式為 ∴ 重根 ∴ 及 代入初值得 故 4. 若，，重作2-2節習題1,2,3。 解： (a)若 通解及其導數為 代入初值得 得, (b)若 其通解及導數為 代入初值得 故 (c)若其通解及其導數為 代入初值得 故 5. 解，， 解： 由2-2習題11，得 及 ∴ ∴， ∴ 6. 解，， 解： ∴ ， ∴ 7. 解，， 解： ∴ ， ∴ 8. 解， 解： ∴ 9. 解，， 解： ∴ ， ， 10. ，， 解： ∴ ∴ ∴ 11. 解， 解： ∴ 12. 解，， 解： ∴ ∴ ， ∴ 13. 解，， 解： ∴ ， 14. 解，， 解： ， ∴ 習題2-4 1. 一電路系統圖，，代表電容初值電壓及電感初電流 (a)試證其二階微分程如下  (b)若，，，求之響應 (c)若重作(b) (d)若重作(b) 解︰ (a)由圖可得 故整理可得 (b)帶入數值得 通解為 (c)帶入數值得 通解為 2. 電路如下圖，且初值，，求之 解： 由上題得其微分方程式為 代入R, L, C值 故 代入初值 故 3. 解以下電路 解： 由上題得微分方程式 代入R, L, C值 故 及 代入初值得 故之響應 4. 試證下列電路可得微分方程式 解： 由KVL得 上式微分，再整理後即可得 5. 證明單擺方程式，在很小時，其運動為周期性，且週期為。 解： 在時， ∴原方程式為 有特徵方程式 ∴ ∴通解為 有週期 6. 考慮一自由無阻尼的彈簧運動，其與平衡點距離d位置的加速度為a，證明其運動週期為。 解： 無阻尼運動 已知在時，代入上式得 ∴ ∵ 故 習題2-5 1. 解 解： ∵ ∴ ， ∴ 2. 解 解： ∵ ， ∴ 3. 解 解： ∵ ∴ 4. 解邊界值問題，， 解： ∵ ， ∴ 及其導數 代入邊界值 故 5. 解邊界值問題，， 解： ∵ 為重根 ∴ 及其導數 代入初值 ∴ 6. 解邊界值問題，， 解：