“装错信封问题”数学模型的求解及推广.pdfVIP

维普资讯 第25卷第3期 数 学理论 与应用 Vo1．25No．3 2005年 9月 M ATHEM ATICAL THEORY AND APPLICATIONS Sep．2005 “装错信封问题’’数学模型的求解及推广 郑 翔 (浙江丽水职业技术学院，丽水，323000) 摘 要 本文给 出了全错位排列问题数学模型的通解 ，全错位排列推广问题的通解 关键词 排列 全错位排列 数学模型 TheExpandingAndSolutionOnTheMathematicalM odel ofPermutation forErrorPositionNumbers ZhengXiang (LiShuiTechnicalCollege，LiShui．323000) Abstract Thispaperdiscussthegeneralsolutionofpermutationforerrorpositionnumbersandexpandon themathematicalmodelofmistakeinfillingenvelope． Keywords permutation errorpositionnumbers mathematicalmodel 1 问题提出 (1)某省决定对所辖8个城市的党政一把手进行任职交流，要求把每个干部都调到另一个 城市去担任相应的职务 ，问共有多少种不同的干部调配方案? (2)有5个客人参加宴会，他们把衣帽寄放在室内，宴会后每人戴 了一顶帽子 回家，回家 后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问6个客人都不戴 自己帽子的戴法有多少种? 上述两个问题 ，实质上是完全一样的，被著名数学家欧拉 (LenhardEuler，1707—1783)称 为 “组合数学论”的一个妙题的 “装错信封问题”的两个特例．“装错信封问题”是由当时最有名 的数学家约翰 ·伯努利 (JohannBernoulli，1667—1748)的儿子丹尼尔 ·伯努利 (Danid Bernoulli，17OO一1782)提出来的，大意如下：一个人写了几封不同的信及相应的n个不同的信 封 ，他把这 封信都装错了信封．问都装错了信封的装法有几种? 2 建立数学模型 “装错信封问题”及两个特例，其实就是 个不同元素的一类特殊排列问题，本文试就给出 这类问题 的数学模型及求解公式，并对这类问题的数学模型进一步的推广．为说明方便，我们 · 武俊德教授推荐 收稿 日期 ：2005年3月 10日 维普资讯 第 3期 “装错信封问题 数学模型的求解及推广 95 先把 个不同的元素及相应的位置都标上序号1，2，3，… ，并且约定：在 个不同元素的排列 中： (1)若编号为ai(一1，2，3，… )的元素排在第 个位置，则称元素 在原位，否则称元素n。 不在原位． (2)若所有的元素都不在原位，则称这种排列为 个不同元素的一个全错位排列 (若每个 元素都在原位则称为序排) 按照上面的约定 “装错信封问题”的数学模型为：在n个不同元素的全排列中，共有多少种 不同的错排?(即全错位排列问题) 3 数学模型求解 当 一 1时，这时位置只有一个，而该元素不能排在该位置，所 以，这种排法只有 0种 ，即 D 1— 0． 当 一 2时，这时n。不能排在第一个位置，n不能排在第二个位置的排法只有 1种 (即n 排在第二个位置，n排在第一个位置)．故 D 一 1．