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工 數 講 堂 劉明昌老師主講 第一章、一階O.D.E.之解法 (1-0 什麼是O.D.E.? (1-1 O.D.E.之基本定義 工數教父劉明昌老師，網上現身說法，從此再難的工數題目也不怕！ 第一章、一階O.D.E.之解法 1-0 什麼是O.D.E.? ( 老師的叮嚀：此單元是工數之最基本課程，但莫因簡單而輕忽！ Review：~代數方程式，有” = ”就是方程式。Ex：解船速、水速之關係 (靜態行為) 解男工、女工之問題 知新： → 微分方程式 ( (動態行為)ex：溫度 微分型態 常微分方程：自變數僅有一個, 微分方程 偏微分方程：自變數數目有2個以上, O.D.E. 之起源： 1.物理(工程)問題 ~O.D.E 2.幾何(數學)問題 二維曲線曲率之表達式 O.D.E.之解： O.D.E. 積分(解v)(難) 解(N) [看不見微分符號了] 微分(易) 積分常數(未定係數) 即：物理(幾何)問題 1-1 O.D.E.之基本定義 ( 老師的叮嚀：瞭解專有名詞才可對O.D.E. 分類，懂意義就無需記憶！ 一、階(order)：一個O.D.E.中，導函數之最高階數，稱之。 意義：階數等於解之未定係數數目。 二、次(degree)：一個O.D.E.中，最高階導函數項之”次冪”數，稱之。 意義：高次O.D.E.會有多組解答。 三、線性與非線性(linear nonlinear) (1)一個O.D.E.中，未知函數之間無互乘。 (2)一個O.D.E.中，未知函數與導函數之間無互乘。 (3)一個O.D.E.中，所看到的未知數與其導函數皆為一次式。 滿足此三要件，稱此O.D.E. 為線性。 若否(只要其一不滿足)，稱此O.D.E. 為非線性。 *觀念：一個O.D.E.系統中，視 均未知 互制interaction 物理意義： 影響： 影響： 如同在 但(幸好)在 ，故大家才有事做，否則早就不用作研究了！ 例： (1) 二階一次非線性 (2) 二階一次線性 (3) 一階一次非線性 (4) 二階一次，非線性 (5) 一階一次非線性 ＊解之分類： 一、通解(General solution)：解之未定係數數目等於階數，稱之。 二、特解(Particular solution)：解之未定係數數目小於階數，稱之。 (即從通解中”指定”未定係數之值) 三、異解(Singular solution)：解之中無任何未定係數，但並非特解，稱之。 (即非藉由積分過程所得之解，僅由觀察(作圖)or經驗得) 高次或非線性較易產生異解 ＊指定未定係數的方法： (1)邊界條件(Boundary Condition)：曲率，隨位置而變。 (2)初始條件(Initial Condition)：溫度，隨時間而變。 項次 條件 邊界條件(B.C.) 啟始條件(I.C.) 例說 意義(數學) 自變數有二點以上 自變數僅出現一點 來由(物理) 一般之自變數代表座標 一般之自變數代表時間 影響 較難存在唯一解 較易存在唯一解 數值方法 射擊法(試誤觀念) trial-and-error Euler法、Runge-Kutta 法 按enter就有答案 比喻： 紀政賽跑： B.C. 無解 x1 x2 除非到x2，否則無解。 I.C. 解 到哪裡均是解。 ∴條件愈多，愈難存在解答 ＊一階O.D