微分几何课程教学大纲 英文名称：differntial geometry 课程编号 .doc

“微分几何”课程教学大纲 英文名称：Differntial Geometry 课程编号：B09043 学时：54 学分：3.5 适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下） 先修课程：数学分析、高等代数与几何 使用教材及参考书： 陈维恒著，《微分几何初步》，北大出版社 梅向明著，《微分几何》 虞言林著，《微分几何》 一、课程性质、目的和任务 本课程主要介绍3-维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。 二、教学基本要求 本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解Gauss绝妙定理的重要意义。 三、教学内容及要求 第一章 预备知识 标架 向量值函数 第二章 曲线论 参数曲线 曲线的弧长 曲线的曲率和Frenet标架 挠率和Frenet公式 曲线论基本定理 曲线在一点的标准展开 平面曲线 重点掌握：曲线的Frenet标架及Frenet公式 第三章 曲面的第一基本形式 曲面的定义 切不面及切向量 曲面的第一基本形式 曲面上正交参数曲面网的存在性 保长对应和保角对应 可展曲面 重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。 第四章 曲面的第二基本形式 第二基本形式 法曲率 Gauss映射和Weingarten映射 主方向和主曲率的计算 Duppin标形和曲面在一点的近似展开 某些特殊曲面。 重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、Gauss曲率、中曲率的计算。 第五章 曲面论基本定理 自然标架的运动公式 曲面一唯一性定理 曲面论基本议程 曲面的存在定理 Gauss定理。 重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，Gauss曲率的内在计算（Gauss定理）。 第六章 测地曲率和测地线 测地曲率和测地挠率 测地线 测地坐标系 常曲率曲面 向量场的平行移动 Gauss-Bonnet公式 重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。 四、学时分配 章 内 容 参考学时 1 预备知识 2 2 曲线论 8 3 第一基本形式 10 4 第二基本形式 10 5 曲面论基本定理 14 6 测地曲率及测地线 10 大纲制定者：李洪军 执笔 大纲审定者：陈红斌 大纲批准者：张胜利 大纲校对者：李洪军 “数学分析”课程教学大纲 英文名称：Mathematical analysis 课程编号：BO 课程类型：必修课 学时：256 学分： 适用对象：理学院数学各专业一、二年级本科生 先修课程：高中数学 使用教材及参考书： 1．陈传璋等，《数学分析》，高等教育出版社。 2．张筑生 主编，《数学分析新讲》，北京大学出版社，1999年 3．W.Rudin Principle of Mathematical Analysis 3rd McGraw-Hill Book Company,New York 1976 一、课程性质、目的和任务 本课程是理科数学专业的主要基本课之一，通过本课程的学习了解分析学的概貌，学会分析方法，培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。 二、教学基本要求 要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到清晰、推严密、运算准确，并且了解分析学的基本要领及物理、几何意义，学会应用这些基本理论及方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。 三、教学内容及要求 第一章 集合、映射与函数 重点掌握：集合、映射与函数的概念，函数的表示，函数的复合运算。 第二章 序列极限 重点掌握：序列极限的定义与性质，敛散性判定的单调有界原理。 了 解：区间套定理及柯西收敛准则。 第三章 函数极限与连续 重点掌握：函数极限的定义与性质，两个重要极限，函数连续的定义，闭区间上连续函数的性质，无穷小量与无穷大量的定义与性质。 了 解：一致连续函数概念，无穷大（小）量阶的概念。 第四章 微分、导数 重点掌握：微分与导数的定义、运算及应用，高阶导数与高阶微分。 第五章 利用导数研究函数 重点掌握：微分中值定理，洛比达法则，泰勒公式，利用导数作函数图象、分析并作图。 了 解：平面曲线的曲率，弧长的微分及计算。 第六章 不定积分 重点掌握：不定积分的定义及性质，不定积分的计算。 第七章 定积分的定义，存在的条件，可积函数，定积分的性质，定积分的计算，定积分的应用。 了 解：微分方法概念。 第八章 欧氏空间与多元函数 重点掌握：n维欧氏空间定义，Rn中点集的拓朴及基本性质，多元函数的概念，多元函数的极限与连续性概念与性质。