切线割线和变化率.pptVIP

極限 2 ? 2011 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part. Tan 微積分 2.5 切線和變化率 直覺的觀察 * Tan/微積分-Ch2.5-p91-92 在微積分的發展上扮演基本角色的兩個問題之一是切線問題：如何找到曲線上任意點的切線（圖2.36a）？ 圖2.36 (a) T 為曲線上點P 的切線 直覺的觀察 為了直接感受任意曲線上切線的意思，可將曲線視為雲霄飛車的軌道，想像自己坐在向正前方前進的車上，車子的位置為P。 則曲線在點P 的切 線T 即為與你的視 線平行的直線 （圖2.36b）。 Tan/微積分-Ch2.5-p91~92 圖2.36 (b) 視線平行於T 直覺的觀察 請觀察切線T 在點P 的斜率反映曲線在點P 的「陡峭」度。 換言之，在圖形y = f (x) 上點P(x, f (x)) 的切線斜率表示自然尺度下量測y 量對x 量的變化率。 讓我們用一個特別的例子說明此現象。 Tan/微積分-Ch2.5-p92 直覺的觀察 函數s = f (t) = 4t 2表示磁浮列車於時間t 沿著平直的軌道移動的位置。 圖2.37 展示圖形s在點(2, 16) 的切線T。 注意，T 的斜率為32/2 = 16。 它表示s 的變化率為每 單位時間的改變，造成 s 16 個單位改變；亦即， t =2 時，磁浮列車的速 度為16 呎／秒。 Tan/微積分-Ch2.5-p92 圖2.37 磁浮列車在時間t 的位置 由函數圖形估計此函數的變化率例題 1 汽車燃料經濟 由美國能源部門和Shell開發公司的研究，典型的汽車燃料經濟可用它的速率函數表示，其圖形展示於圖2.38。 Tan/微積分-Ch2.5-p92~93 圖2.38 典型的汽車燃料經濟 例題 1 汽車燃料經濟 假設函數f 在任意x 的變化率為切線在點P(x, f (x)) 的斜率，應用f的圖形估算當車子分別以速度20 mph 和速度60 mph 行駛，典型的汽車燃料經濟的變化率，以每加侖行走的哩數（mpg）為測量的單位。 解： 圖形f 在點P1(20, 22.5) 的切線T1 之斜率大約為 Tan/微積分-Ch2.5-p92-93 例題 1 汽車燃料經濟－解 這表示當x = 20，每單位x 的改變，f (x) 大約以0.9 個單位增加。 換言之，當車子以每小時20 哩的速率行進時，它的燃料經濟變化率隨著車速每增加1mph 就增加大約0.9mpg。 圖形f 在點P2(60, 28.8)的切線T2 斜率為 cont’d Tan/微積分-Ch2.5-p93 例題 1 汽車燃料經濟－解 這表示當x = 60，每個單位x 的改變，y 大約以0.5 個單位減少。 換言之，當車子以每小時60 哩的速率行進，它的燃料經濟變化率隨著車速每增加1 mph 就減少大約0.5 mpg。 cont’d Tan/微積分-Ch2.5-p93 定義切線 例題1 的主要目的為說明切線和變化率的關係。 理想上，問題的解應該是解析解，而非如例題1，是依賴畫圖和估算它的切線位置有多準而得。 所以首要的工作為更精準地定義曲線上的切線。 然後再設計求解析的方法來求此切線的方程式。 Tan/微積分-Ch2.5-p93 定義切線 令P 和Q 表示曲線上不同的兩個點，並考慮經過P 和Q 的割線（圖2.39）。 假如讓Q 沿著曲線 向P 的方向移動， 則此割線對P旋轉 且逼近固定線T。 我們定義T 為曲線 上點P 的切線。 Tan/微積分-Ch2.5-p93 圖2.39 當Q 沿著曲線逼近P，割線逼近切線P 定義切線 讓我們將此概念弄得更清楚：假設此曲線是定義為y = f (x)的函數f 的圖形。（圖2.40）。 Tan/微積分-Ch2.5-p94 圖2.40 (a) 點P(a, f (a)) 和點Q(a + h, f(a + h)) (b) 當h 逼近0，Q 逼近P 定義切線 令P(a, f (a)) 為f 圖形上的點，並令Q 為f 圖形上異於P 的點。 則Q 的x 坐標為x = a + h，其中h 為某適當非零的數。 假如h 0，則Q 在P 的右邊；假如h 0，則Q 在P 的左邊。Q 相對應的y 坐標為y = f (a + h)。 換言之，可用一般的方法表示Q 為Q(a + h, f (a + h))。 Tan/微積分-Ch2.5-p94 定義切線 注意，只要令h 逼近0，我們就可讓Q沿著f 的圖形向P 逼近。 此情形展示於