习题解答41若光波的波长宽度为频率宽度为试证明：设.DOC

第四章 习题解答 4.1 若光波的波长宽度为，频率宽度为，试证明：。设光波波长为，，试计算它的频宽。若把光谱分布看成是矩形线型，那么相干长度 证明：赫， 4.2 设迈克尔逊干涉仪所用的光源为，的钠双线，每一谱线的宽度为。（1）试求光场的复自相干度的模。（2）当移动一臂时，可见到的条纹总数大约为多少？（3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？ 答：假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为 (1)光场的复相干度为 式中，复相干度的模为 由于，故第一个因子是的慢变化非周期函数，第二个因子是的快变化周期函数。相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在的地方，为相干时间，故相干长度。 （2）可见到的条纹总数 （3）复相干度的模中第二个因子的变化周期，故 可见度的变化周期数 每个周期内的条纹数 4.3假定气体激光器以个等强度的纵模振荡，其归一化功率谱密度可表示为 式中，是纵模间隔，为中心频率并假定为奇数。（1）证明复自相干度的模为 (2)若，且，画出与的关系曲线。 证明：（1），复相干度与归一化功率谱密度即光源的光谱特性间具有下列关系： 将（4.3.1）式带入得到 其中 因而 = = 复相干度的包络则为 （2），当N=3时， 其曲线如图1所示。 图1 多模激光复相干度包络曲线（N=3） 4.4 在衍射实验中采用一个均匀非相干光源，波长，紧靠光源之前放置一个直径1mm的小圆孔，若希望对远处直径为1mm的圆孔产生近似相干的照明，求衍射孔径到光源的最小距离。 答：用做衍射实验的相干度应当用上题中提到的沃尔夫用的阈值，由理想值1下降到0.88为最大容许偏离值，因而相干面积直径与光源半径之间满足下列关系： 则 即光源小孔与衍射小孔之间最小相距5.68m才能在衍射实验中较好地满足相干照明的要求。 4.5 用迈克尔逊测星干涉仪测量距离地面1光年(约1016m) 的一颗星的直径.当反射镜与之间距离调到6m时,干涉条纹消失.若平均波长，求这颗星的直径。 答：。 4.6 在杨氏双孔干涉实验中(图4.17),用缝宽为的准单色非相干缝光源照明,其均匀分布的辐射光强为，中心波长.(1)写出距照明狭缝处的间距为的双孔和（不考虑孔的大小）之间的复相干因子表达式。（2）若，求观察屏上的杨氏干涉条纹的对比度。（3）若和仍然取上述值，要求观察屏上干涉条纹的对比度为0.41, 缝光源的宽度应为多少?(4)若缝光源用两个相距为的准单色点光源代替, 如何表达和两点之间的复相干因子? 图 题4.6 答：根据范西特-泽尼克定理，当光源本身线度以及观察区域线度都比二者距离小得多时，观察区域上复相干因子正比于光源强度分布的归一化傅里叶变换。本题的条件能够满足这个要求。因而有 (4.75) 式中 ，而和分别为和两点到光轴的距离。 （2）当，有 观察屏上的杨氏干涉条纹的对比度为0.637。 若和仍然取上述值，观察屏上干涉条纹的对比度为0.41, 缝光源的宽度应为 若缝光源用两个相距为的准单色点光源代替, 和两点之间的复相干因子可以表达为两个复指数函数之和，因而随着和两点之间的距离按照余弦函数方式变化。 4.7一准单色光源照明与其相距为的平面上任意两点和，试问在傍轴条件下这两点之间的复相干因子幅值为多大？ 答： 图 题4.7 解：首先建立如上图的坐标系，光源位于ξ-η坐标原点，ξ-η与x-y两平面间距为z，P1与P2两点坐标分别为(x1,y1)与(x2,y2)，并满足如下近轴条件： 做为准单色点光源，其光源可表示为 其中δ为狄拉克函数。直接利用范西特-泽尼克定理计算复相干系数如下： 因为，由点光源发出的准单色是完全相干的，或者说x-y面上的相干面积趋于无限大 4.8在图4-18所示的记录全息图的光路中,非相干光源的强度在直径为的圆孔内是均匀的。。为使物体漫反射光与反射镜的参考光在面上的复相干因子不小于0.88,光源前所加的小孔的最大允许直径是多少（）？ 答：小孔的最大允许直径。 图 题4.8 7