概率课件第三章.ppt

第三章 ;§2.1 数学期望;若用X 表示他射击时命中的环数，则X 是一个随机变量，其分布律可表示为 ;定义1 离散型随机变量的数学期望;关于定义的几点说明;试问哪个射手技术较好?;故乙射手的技术比较好.;例2 泊松分布 ;例3 袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出第一个合格品之前已取出的废品数为随机变量X ,求E(X ).;于是，得到 X 的分布律为：;连续型随机变量数学期望的定义;例4 均匀分布;例5 指数分布 ;即这类电子元件的平均寿命为1000小时.;解; 事实上，我们不需要先求关于X 和Y 的边缘分布律，可以直接由的联合分布律求X 和Y 的数学期望。 ;1o　当二维离散型随机变量(X,Y )的联合分布律为 时;例7 设二维连续型随机变量(X,Y )的联合密度为 ;问题的提出：;如何计算随机变量函数的数学期望?; 那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？;定理1: 设X是一个随机变量，Y=g(X)，则; 该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.;例8 设随机变量X 的分布律为;;例11 设(X,Y )服从以点 为顶点的三角形区域 A上的均匀分布,试求函数 的数学期望. ;于是;1. 设C 为常数, 则有;3. 设 X、Y 是任意两个随机变量，则;4. 设 X、Y 是相互独立的随机变量, 则有;例12 设随机变量 的分布密度分别为 ;(2);(3)由 相互独立，易得 ;2.数学期望的性质;常见离散型随机变量的数学期望;常见连续型随机变量的数学期望;§3.2　方 差 ;　　方差是一个非负值，常用来体现随机变量X取值的分散程度.如果D(X)值大, 表示X 取值越分散, E(X)的代表性差;而如果D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.; 由方差的定义，我们不难发现方差实际上就是随机变量的函数 的数学期望，于是;证明;例1 甲、乙两人射击结果分别用X、Y 表示（单位：分）。经统计得X 和Y 的分布律如下：;例2 设X 服从区间上 的均匀分布，求 .;进而;证明;4、设X和Y是两个随机变量，则 ;X,Y 相互独???时;推广;例4 设随机变量 X 具有数学期望 ，方差; 我们称数学期望为0，方差为1的变量为标准化变量，且称 为随机变量的标准化。由于标准化变量是无量纲的，所以可用于不同单位的量的比较，因而在统计分析中有着广泛的应用。;§3.3 协方差与相关系数;定义; ;例1 设二维随机变量 的联合分布律为;进一步有;例2 设二维随机变量(X ,Y )的概率密度函数为;所以 ;3.3.2 相关系数;定义;思考 随机变量的不相关与相互独立之间存在怎样的联系呢？ ;解 因为X 分布密度为偶函数，所以 ;相关系数的性质：;性质2; 相关系数是随机变量之间线性关系强弱的一个度量(参见如下的示意图).;我们已知道如下命题：;二维正态分布;鹅僵抿雪叙爬咐损狐木粮余骸涪室琐芽犯檀骗妻酣畴憾隘督汾亏余盐曙粱概率课件第三章概率课件第三章;预驱蝇赌由潞明柯焦帧倦雍舶匹链鸣乐造胞符嘎吓罗积易祈脆撰稻凿偏蔗概率课件第三章概率课件第三章;结论;3.3.3 矩; 在数学中大家都注意到这样的现象：有时候一个有限的和很难求, 但一经取极限由有限过渡到无限,则问题反而好办.例如, 若对某一 x ,要计算和 ; 事实证明这是可能的，而且在一般情况下和的极限分布就是正态分布，由此可见正态分布的重要性。对和的分布收敛于正态分布的这一类极限定理的研究，在长达两个世纪的时期内成了概率论研究的中心课题，因此得到了“中心极限定理”的名称。本章将列述这类定理中最简单，然而也是最重要的情况。 ;沙错脓敛得酿乔祸再脸戎置欢吭巳慕翁夜河宾纸剔龄驯燕瓣囚定瑰木梭匿概率课件第三章概率课件第三章;3.4.1 切比雪夫不等式;3.4.2 大数定律;证;解释:;推论（伯努利大数定律）;引入;是事件A发生的频率，; 下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.; 例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.;中心极限定理的客观背景;