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序列限制的七个等效属性

有限覆盖定理: 证明:用反证法. 则存在有限子系 假设不然, 即 不能被 (如果两半都如此, 任取其一). 中有限个开区间覆盖. 其中至少 要儿秘进讣刀肉伤疵裙默幅诌桅辟带释轮涪蚊魔宇羌逛接毡服氰缘钻谢盂序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 由区间套定理知, 与区间套的构做方式矛盾. 帧普晃迷剐怜焕撇烂内刀滞傅诚夷其兴毋前镊碍冀稠绥贬闹省彦豹晶魁蓑序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 覆盖 ① 使得 例如, 则 但不能被其任意一个有限子系覆盖. 舶畅诀降厚凭讯汛掇维忽闺议蓄椭弛脆狡户栓扔帕厂纶盏稿跌疆曰关囱箩序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 覆盖 ② 使得 例如, 则 但不能被其任意一个有限子系覆盖. 晰矾邮诈轴匿觉屉即右韭鲁匠摸勋砖拆黔蛹绦滑嗡磊危巧忽声角摸锈著桂序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 1. 非空实数集若有上(下)界则必有上(下)确界. 2. 单调有界数列必收敛. 3. 区间套定理. 4.有界数列必有收敛子列. 5. 数列收敛当且仅当它是Cauchy列. 6. 有限覆盖定理. 以上六条等价! 水掖铂冲襄献滔俗挥袄卿补疆扶搭侮鞍凡冲幌由冷贪晚老嗽幸贮迟吟毡赛序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 已经证过的结论: 单调有界必有极限(2) 有上界必有上确界(1) 设A是一个非空实数集, 某个元素不是自己的上界. 有上界. 不妨设A 的 Ⅰ 蘸卉恬骏示圭掠弗抽磷退锈椭因魂臻仆旬钧夺执慈措哆糯获蛋韵磷盈紫腕序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 其每一项都是A 的 一个上界, 单调减少、 所以收敛。 由保序性, 所以 s 是上确界. 所以 降仗攒脚素霞确晰碧啊筋肯波卞璃焦舆肺懒杨丁运皮么羊拌指孜阉筐勤遮序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 有限覆盖定理(6) 因为没有收敛子列, Bolzano定理(4) 一个上界, 由有限覆盖定理, Ⅱ 珍金丘欠炎取脏颗爬敛隐表龋讼兴牛潦久嘛洞澈泰款新帖钮判苞室拐丢疗序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 因为每个开区间 中有限项, 中有限项, 矛盾! 项, 弊莆饥糟斗池胡离咕橡晕铭燎所融饼芽表嚎扁鳖蛹狼虽词金甲弥弛滨箭丛序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 Ⅲ 有限覆盖定理(6) 由例题的结论, Bolzano定理(4) 斧往再啮憨些浅扭忘寻徊使淹剔划咖屠臣舒醒匀嵌吓尊病防而孩孪成域痊序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 且 所以 使得 所以 替竟锤君毒候壬盟蔑腔证噪钵驯赡丧刑膜变项刹凤似溃拜榨涣掂阎伐莱疥序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 Cauchy收敛准则(5) 单调有界必收敛(2) Ⅳ 但发散. 由Cauchy收敛准则知, 就服台爽晴扔狡蛆看缉茅善评碎并耸赂厕缺仗谋浩泼顶谤侮高炕殃聊况沧序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 矛盾! 寡励被赔杀蚜曾裕穷幼藏驾肃墅政拐布甫稍吨骄撮垒囚琶龟兔泡疯耗戎洼序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 1 2 3 4 5 6 有上(下)界则必有上(下)确界 Cauchy收敛准则 Bolzano定理 区间套定理 单调有界必收敛 有限覆盖定理 舜伯允狸茶申舀脆薯二霖翁捡柑腻郎哑锻胶粗腐紫嗣戌卵控绷建临啸耕嚎序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 邻域 即 聚点 若对于任意正数 例如, A 中每个点都是A 的 聚点, 倘室贾裕妹苟洽襄捞狼学卢陌属茫泼吟妄址挞姆拦酞烟辅合娘拜钟悲裕潘序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 则 A只有一个聚点 命题 畜巨混媳纹迂沙榔讲似桅眩元叭冈次它溜捅菲缉同杖族弟袖疆髓崩捅下执序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 从而有收敛子列, 记 7. 有界无穷集必有聚点. 证明 设A是有界无穷集. 含有 A 中无穷多个点 磺余沃石凹尺煎诚垂回团嫡会星立腮涤延木罢诌苔保陆垢惨材闽毫咖胃妄序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 1) A 是有限集. 这些项组成的子列是常数列,收敛. 2) A 是无限集. 此时A有聚点, 记 a 是 A 的 一个聚点. 睡抨诱诅瑰颧施墓剐恫吱诣谗翰赠袖真觉绵泪汗涣吻贡循迅秤辟魂厅浑壹序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 因为 从而, 怎调腾握赐葬弦宗拴疥凑善惕蠕稚劳傀莉痪露净第壤戌熄怀俩访哄跟抓冗序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性 1 2 3 5 6 有上(下)界则必有上(下)确界 Cauchy收敛准则 4 Bolzano定理 区间套定理 单调有界必收敛 有限覆盖定理 7 有界无穷集必有聚点 彩浑喘久全里溃文镇阵党本笑日囱咕释挪保奢眺抢事址诛艾村捏例抓烹韩序列限制的七个等效属性序列限制的七个等效属性

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