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小议物理学中的配分函数孙杰 （安庆师范大学物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011）指导老师：江贵生摘要：统计物理学从宏观物质系统是由大量微观粒子组成这一事实出发，认为物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集体表现，而宏观物理量是相对应物理量的统计平均值。针对微观状态的复杂性，若要将系统的宏观性质表达出来，需要一个媒介物，而配分函数的作用就是充当这一媒介。本文从配分函数的定义式出发，根据玻尔兹曼的最概然分布表达式得出配分函数的表达式的由来。在统计物理学中，配分函数具有重要的物理意义，它是一个收敛的无量纲的级数，它是粒子逃离基态程度的量度。配分函数的物理意义表现在其重要的性质上，这在本文中都有所体现。最后，本文详细的给出了利用配分函数求得热力学函数以及怎样推导典型分子分布规律的过程。关键词：系统，配分函数，玻尔兹曼分布引言在汪志诚的《热力学·统计物理》一书中，对配分函数的定义式做了简单的推导，本文在此基础上对配分函数的导出做了详细的说明，并结合其他期刊对配分函数的性质以及应用做了详细的分析。1 配分函数 1.1 配分函数的定义在统计物理学中，玻尔兹曼分布的量子表达式和经典表达式分别是:和那么玻尔兹曼经典统计的配分函数表达式为： （1） 由于经典理论中的广义坐标、广义动量和粒子能量都是连续的变量，所以上式得求和应该是积分，表达式为： （2）下面介绍配分函数是怎样引出的:在推导玻尔兹曼系统粒子的最概然分布中，微观状态数为： （3） 玻尔兹曼系统中粒子的最概然分布是使 为极大的分布。由于随的变化是单调的，即可以讨论 为极大的分布代替。将上式取对数，可得： （4）假设所有的都很大，那么（4）式可以化为:为了求得使为极大的分布，令有的变化，所以将因而有的变化。为了使为极大的分布{}必使： 但必须满足条件：在满足上述条件情况下，无论下式中的参量取何值，都有：我们用下述的两个条件确定参量： 有： (5) （5）式中的可以独立取值，因为要求前面的系数为0，即综上可知，必须有: ,即则玻尔兹曼的最概然分布表达式可以写为: （6） 式中分母项即为配分函数[1] ： 。 （7）1.2 配分函数的物理意义（7）中的玻尔兹曼因子，它是以负指数规律减少的，所以我们可以将配分函数看作一个收敛的无量纲的级数。指数函数也是无量纲的，而简并度就是一个无量纲的数，对整个式子来说也就是无量纲的。因此，配分函数可以看成一个确定的值。 现假设能级是非简并的（),各个能级间距相等，以基态能量为基准（）。得 令 （8）由（8）式可以看出，在能级非简并状况下，能级间的距离越小或者温度越高时，级数收敛性越小，即函数是发散的，，高能级状态下的粒子数很高，是逐渐增加的；反之级数收敛性更强，而低能级在分配函数中的作用就越明显，就越趋近于1，即。对于足够低的温度或者足够大的能级间距，（7)可以看成1，即此时有，此状态下的粒子数近似于零，说明此时粒子几乎都处于基态。以上所述的是在能级非简并情况下，如果能级是简并的，随着的增加而减小。但是配分函数中求和中的各项还受着的变化而变化，它的值可以先增大随后又减小。这就表示在平衡分配有最多粒子数的能级不一定非是最低的能级。粒子在能级上的分布规律受着配分函数的影响，如果分布函数值越小，那么意味着粒子在各个能级上分布的不均匀，大部分粒子都集中在低能级上，高能级上的粒子数较少；反之，分布函数值较大，粒子各能级上分布较为均匀。[2] 2 配分函数的性质配分函数在物理学中具有重要的物理意义和作用，而这些意义和作用表现在配分函数的性质上。下面我们简单的议论配分函数的性质。 2.1 配分函数反映了粒子在各能级上的分配特性在或者能级上的粒子数 可以写成 ： （9