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第一章 极限与连续 一、极限的概念 1、极限概念 当函数的x逐渐趋近某个定值时，该函数的值也会逐渐趋近某个值，这个值就是函数的“极限”. 2、当x→∞时函数的极限 定义中的x→∞指|x|→∞. 如果从某一时刻起，x总取正值而且无限增大，则记为x→+∞. 如果从某一时刻起，x总取负值而且|x|无限增大，则记为x→-∞. 下面的规律在计算中可以利用： 只要能记住这类题目分子分母同除以x的最高次幂，然后分别求分子分母各项的极限即可. 3、当x→x0时函数的极限 理解定义，要注意：根据极限定义，存在，函数可以在点x0没有定义. 二、极限的运算法则 在某一变化过程中，两个变量的和、差、积、商（分母不为0）、幂的极限等于两个变量极限的和、差、积、商、幂. 这些运算法则可以推广到有限多个函数的代数和及乘积的情况，但无限个函数的代数和及乘积就不能用这些法则来计算. 三、两个重要极限 第一个是 记住：分子分母都是无穷小量，而且分母和sin后的东西完全相同才行. 第二个是 它的变形是 记住：括号里是1+无穷小量，指数是括号里的无穷小的倒数. 对重要极限要熟悉变量的关系和在表达式中的位置. 能用第一个重要极限公式求解的极限也可以用罗比达法则求解. 四、函数的连续性 1、连续的概念 在一个单位里，如果有人离开，那么总要提前找接替的人，进行工作交接，以使工作继续按现状运转，不至于中断. “不中断”，就是连续性的意义所在了. 2、函数在一点连续 如果有，则f(x)在点x0处连续，还可以这么说：若f(x)在点x0处连续，则 函数在一点连续的定义要求同时满足以下三个条件： （1）f(x)在点x0极其邻域内有定义； （2）函数的极限存在； （3）这个极限值与这点的函数值相等，即. 3、函数在区间上连续 如果函数f(x)在某区间上每一点都连续，则称f(x)在此区间上连续，并称此区间为f(x)的连续区间. 3、函数的间断点 在是连续的，条件有三： （1）是有定义的； （2）存在； （3）. 下面看看这三个条件具体有啥意思： 条件1的意思是，我们所考虑的这个点包含在函数的定义域内，如果是函数，我们就不能问它在是否连续，因为它在根本没有意义； 条件2的意思是说，当x从a的左右两边向a趋近时，该函数的值会向某个值趋近； 条件3说的是，所趋近的那个值，就是它在a那一点的函数值. 函数在点处不连续，则称点为的间断点. 4、连续函数的运算法则 连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为连续函数. 基本初等函数在其定义域内都是连续函数，一般初等函数在其定义域区间内都是连续的. 5、闭区间上连续函数的性质 了解零点存在定理. 五、无穷大量和无穷小量 1、无穷大量和无穷小量的概念 无穷小量即极限为0的变量. 无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势为零. 无穷大量和无穷小量是相对某一极限过程而言. 一个变量是否为无穷小量但是与自变量的变化趋势紧密相关的，在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势. 很小很小的数不是无穷小量，越变越小的变量也不一定是无穷小量. 无穷小量不是一个数，但数“0”是无穷小量中唯一的一个数，即数“0”是无穷小量. 无穷大（用一个睡觉的8表示：∞.）不是一个数，是一个记号，不能写成x=∞或f(x)=∞. 2、无穷小量的运算性质 （1）有限个无穷小量之和仍为无穷小量 （2）有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量. 如并不能用重要极限来解，因为x的变化趋势不是x→0而是x→∞，注意，因此当x→∞时1/x是无穷小量，而正弦函数是一个有界变量，利用这个性质来解是最方便的，他们乘积的极限直接得出等于0. 例：limsin2x/x=0(x→∞)而limsin2x/x=2(x0)为什么不一样？第一个用的是无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积仍然为无穷小量；第二个用的是重要极限公式.x趋向不同，结果当然不同了.在用公式求极限时，要注意它的形式必须和公式完全相同. （3）有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 这些性质不能推广到无穷大量之中. 3、无穷小量阶的比较. 两个无穷小量阶的比较是求它们比的极限，即比较两个无穷小量趋于0的速度. 注意求两个无穷小量的比的极限时，通常把较简单的函数作为分母，这样计算要简单些. 两个等价无穷小量可以互相代换，具有下列性质： 如果当x→x0（x→∞）时，均为无穷小量，又，且存在，则 这个性质常用在极限运算中，可以简化运算，熟悉的同学可以将此性质用在极限的乘积运算中，但要说明理由. 常用的等价无穷小量代换有：当x→0时， 如果对此方法把握不大，还是运用常用的方法如罗比达法则来求解. 六、求极限的方法 1、直接代入求函数值，如果结果是一个常数，而且该函数不是分段函数，那么，f（a）就是我们所要求的极限； 2