数学归纳法学习.docVIP

数学归纳法，对于同学们无论在中学阶段还是在大学阶段的数学学习，都是一个经常用到的工具，因此是高中代数的一个重点。由于它所解决的问题五花八门，应用时的情况扑塑迷离，所以，它又是高中数学的一个难点。 （一）? 概念的理解 1.?????? 不完全归纳法和完全归纳法 在数学推理过程中，由于一般到特殊，根据已知准确的判断去做出新的判断，称做演绎推理，反过来，从分析一些特例的共同特征，得出一般性的结论，这种由特殊到一般的推理方法，称作归纳推理。 如果只从一些有限特例的验证，就得到一般性的结论，这种归纳推理，称为不完全归纳法。显然，它所得到的结论不一定可靠的，但常常利用它。提出猜想，然后严格证明。 对于与自然数有关的数学命题，一句数学归纳法原理，可以得到可靠结论的一种归纳推理方法（事实上，是把归纳和演绎结合起来了），称作数学归纳法。它是一种完全归纳法。 2.?????? 数学归纳法 （1）?????? 数学归纳法原理 设一个与自然数有关的命题，如果 ①当n取第一个值n0（列如n=1，或2等）时命题成立； ②若n=k（k N，且k≥n0）时命题的成立，能导致n=k+1是命题也成立. 那么，这个命题对于一切自然数n（n≥n0）都成立。 （2）?用数学归纳法证明一个命题的步骤 10、证明当n取第一个n0 (列如n=1或2等)时，结论成立； 20、假设n=k（k N且k≥ ）时结论正确，证明n=k+1时，结论也正确.结论，所以命题对于从n0开始的所有自然数n 都成立。 （3）弄清几个问题 ①n0宜取尽可能小的自然数字，这样可使命题的成立范围较大，但不一定必须取1。 ②必须先证明n= n0是结论正确。不能因为在(2)中的20得到了n=k+1时命题成立的结论，证明就完成了。 因为，得到“n=k+1时命题成立”结论的前提是“n=k时命题成立，”它只是假定，称作归纳设，它必须以“n= n0时命题成立”为基础. ③有时，由“假设n=k时命题成立”，易推出n=k+2时命题成立.这时，只要在（2）中的10中明归纳假设基础存在时，分别证明，n= n1及n= n2时，命题都成立。这里n1，n2一个是奇数一个是偶数。那么，欲证命题则对于一切大于或等于n1、n2较大者的自然数都成立。 如果由“n=k时命题成立”，易于推出n=k+3.或n=k.或n=k+4.或……时命题成立，处理方法类似。 （二）? 用好数学归纳法 从假设n=k时命题成立，推出n=k+1时命题成立，是完成数学归纳学的关键一步，也是难点所在，要掌握和用好数学归纳法，需要总结、掌握处理这一步的思考规律。 1、熟悉从“假设n=k时命题成立”推导“n=k时命题成立”的一般方法。下面，通过例题，介绍用数学归纳法证明等式或不等式时，处理这一步的一般办法. 例1?? 求? 1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n(n+1) ? （n N）. 证法一? 10、当n=1时，因为 ?????????????????????? 左=1×（3×1+1）=4， ?????????????????????? 右=1×（1+1） =4， ????????????????????????????? 左=右. 所以命题成立. 2o 、若n=k（k N）时，等式成立，即 ????????? 1×4+2×7+3×10+…+k（3k+1）=k（k+1）2?????????????????????????? ?????① 则 ???????? 1×4+2×7+3×10+…+k（3k+1）+（k+1）[3(k+1)+1] ??????? =k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]2。 即n=k+1时，等式成立。综合10与20，等式对于一切n N成立。 证法二??? (从证法一的①式开始) 则 \（k+1）[（k+1）+1]2=（k+1）[(k+1) 2+ (2k+3)] ? =k(k+1) +(k+1) +(k+1)(2k+3) ? =k(k+1)2 +(k+1)[（k+1）+2k+2+1] =K(k+1) 2 +(k+1)[3(k+1)+1] =1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]. 即? n=k+1时，等式成立（以下略） 证法三? （从证法一的①式开始） 若需证n=k+1时等式成立，只需证 1×4+2×7+…+k(3k+1)+（k+1）[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1] ,?????????????? ② ②成立，则只需证 ???????????? （k+1）[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1] -k(k+1) ? 成立，即只需证 ???????????????????????? 3k+3+1=k2+4k+4-k2-k?? ???????