课时跟踪检测20 空间向量与空间角、距离.docVIP

课时跟踪检测(二十)　空间向量与空间角、距离 班级：____________　姓名：____________　学号：____________ 一、选择题 1．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为(　　) A．10　　　　　　　　　 B．3 C. D. 2．在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为(　　) A．0 B. C．－ D. 3．已知正四棱锥S -ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 4．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为(　　) A．－ B. C．－ D. 5．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 二、填空题 6．直线l的方向向量a＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________． 7．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉＝________. 8.如图正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，O 是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为　　　　. 三、解答题 9．如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝. (1)求证：AO平面BCD； (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值． 10．如图，四棱锥P -ABCD中，PA底面ABCD，ABCD，AD＝CD＝1，BAD＝120°，ACB＝90°. (1)求证：BC平面PAC； (2)若二面角D -PC -A的余弦值为，求点A到平面PBC的距离． 1．选D　点P到平面α的距离 d＝＝＝. 2．选A　建立如图空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)， ∴＝(－2，－2,3)，＝(－2,2,0)． ∴cos〈，〉＝＝0. ∴〈，〉＝90°，其余弦值为0. 3．选C　建立如图所示的空间直角坐标系，令正四棱锥的棱长为2，则A(1，－1,0)，D(－1，－1,0)，S(0,0，)，E， ＝， ＝(－1，－1，－)， cos〈，〉＝＝－， AE，SD所成的角的余弦值为. 4．选B　建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)． ∴＝(－2，－2,0)，＝(0,0,2)，＝(－2,0,1)． 设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)． ∵n⊥，n⊥， ∴∴ 令y＝1，则n＝(－1,1,0)． ∴cos〈n，〉＝＝， 设直线BE与平面B1BD所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝. 5．选B　建空间直角坐标系如图，设AB＝1， 则A(0,0,0)，B(0,1,0)， P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)． 平面PAB的法向量为n1＝(1,0,0)． 设平面PCD的法向量n2＝(x，y，z)， 则得 令x＝1，则z＝1. n2＝(1,0,1)，cos〈n1，n2〉＝＝. 平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为. 此角的大小为45°. 6．解析：设直线l与平面α所成的角是θ，a，n所成的角为β，sin θ＝|cos β|＝＝. 答案： 7．解析：建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为2. 可知＝(2，－2,1)， ＝(2,2，－1)． cos〈，〉＝－. sin〈，〉＝. 答案： 8．解析：建立空间直角坐标系如图，则B(1,1,0)，O， ＝(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量． 又＝， BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为 ＝＝. 答案： 9．解：(1)证明：因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD. 因为BO＝DO，BC＝CD， 所以CO⊥BD. 在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝， 而AC＝2，所以AO2＋CO2＝AC2， 所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC. 因为BD∩OC＝O，所以AO⊥平面BCD. (2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，＝(－1,0,1)， ＝(－1，－，0)， 所以cos〈，〉＝＝， 所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 10．解：(1)证明：PA⊥底面ABCD，BC平面A