一堂坐标几何课的教学设计以旋转变换为例.PDFVIP

EduMath 36 (3/2014) 一堂坐標幾何課的教學設計：以旋轉變換為例 張僑平 香港中文大學課程與教學學系 吳文慇 衛理中學 引言 幾何圖形的變換是中學數學教學中的一個難點，尤其涉及到坐標平面 內的圖形旋轉變換。它不僅需要學生具備一定的空間想像力（spatial abilities ）（運動的觀點），還有代數化的思維（algebraic thinking ）（數與形 相結合）。表面上來看，圖形的變換比較直觀，教師可以通過動手操作，演 示給學生看，但要令到學生明白這些變換背後的數學原理，就不那麼容易 了。特別，要能讓學生明白從旋轉特殊圖形（如直角三角形）到一般圖形、 從特殊角度（如 90 度）到一般角度的一般規律實屬不易。心理學家 Bruner （1960）提出知識學習可以有三個階段： (1) 動作表徵期（Enactive representation ）以「由做中學」的經驗，包 括直接或有目的的經驗、設計、演劇及示範的經驗。 (2) 形象表徵期（Iconic representation ）以「由觀察中學」的經驗，有 參觀、展覽、電視、電影等經驗為主。 (3) 符號表徵期（Symbolic representation ）最高層次，以「由思考中 學」的經驗為主。 為使學生體驗和理解從具體過渡到抽象，從實物操作過渡到符號演繹 的過程，課堂教學活動的鋪排顯得尤為重要。以下我們將透過如何講解坐 標平面的旋轉變換，來詮釋 Bruner 教學理論的應用。 所謂旋轉，就是在平面上，已知一個固定點 O ，將平面上任一點P ， 繞點 O 旋轉一個角度 θ的得到點 P ’。這種將平面上的點P 變成點 P ’的變換， 即為旋轉變換或旋轉。學生學習旋轉變換，開始與直觀法學習平面幾何階 段，透過認識生活中經變換的圖形，把玩一些實物圖形，都不難理解旋轉 的含義。不過，當圖形放置到坐標平面中時，情況就會變得複雜。學生需 要明晰變換下新圖形的位置，更準備地說，在旋轉變換下，原圖形中的點 61 數學教育第三十六期 (3/2014) 的變化。在直角坐標平面中，點的位置可以透過坐標確定下來。於是，這 種變換的結果實際歸結為要坐標變換。當然，我們亦可以說，將幾何問題 代數化了。 教學流程 針對旋轉變換和坐標幾何的特點，我們設計了如下的教學流程： 策略一:動手操作，體驗過程（Rotate the right-angle triangle ） 建立與學生以前的學習經歷，讓學生 感受圖形旋轉的過程和結果。教 師請同學出黑板演示並畫出一個直角三角形旋轉後的圖形（圖一）。旋轉方 法各不一樣：順時針旋轉 90 度、逆時針旋轉 90 度、順時針旋轉 180 度和 逆時針旋轉 180 度。 圖一 學生演示直角三角形的旋轉 同學完成圖形旋轉後，在黑板上畫出圖形位置發生改變後的形狀，教 師進而總結每一種方向旋轉後的特點： (a) 圖形的旋轉涉及到線段的旋轉、點的旋轉； (b) 圖形的旋轉一定有一個旋轉中心（origin ）； (c) 圖形的旋轉一定有一個旋轉的方向；特別，順、逆時針 180 度結 果相同（亦可請同學在教室中站著，然後按照順時針、逆時針方 向各轉動一次，「驗證」這種相同結果）。 62 EduMath 36 (3/2014) 策略二：層層發問，啟動思考 （questioning