3.2厄米算符(讲稿).doc

§ 3.2 厄米算符 　　设为厄米算符，其本征问题的解可分为分立谱和连续谱两种情况。 分立谱：， 例如无限深方势阱中粒子的哈密顿量为厄米算符，本征值问题的解为 连续谱： 例如动量是厄米算符，本征值问题的解为 厄米算符的本征值为实数 以连续谱为例证明 因为厄米算符，则 厄米算符的本征波函数正交 分立谱：，当； 连续谱：，当． 　以连续谱为例证明 因为厄米算符，则 所以 ，当 ． 如果把本征波函数归一化或归格化到函数，那么厄米算符的本征波函数就构成一个正交、归一的函数系 分立谱： 连续谱： 三 、本征波函数构成完备集合 1、分立谱情况 可以证明：对于分立谱情况，厄米算符的本征波函数构成完备的函数系。 设为厄米算符 任何一个满足适当边界条件和连续性要求的波函数，均可作向展开 展开系数按下式计算： 为证明上式，只要用与展开式两边作内积 综上所述：厄米算符的本征波函数构成一个正交、归一、完备的函数系。 正交、归一、完备的函数系 ( 基底 矢量代数中的基底： 展开系数 ( 态矢在基矢上的投影 ( 矢量在基矢 上的投影 集合 ( 态矢在基底上的表示 ( 在基底上的表示 用展开系数表示态的归一化 证明： 模方( 态 中包括的百分比 用展开系数表示在态上的平均值 证明： 模方( 在态上测量所得结果中出现的概率 展开系数 ( 概率幅 概率幅的集合 ( 态在表象上的表示 其实，概率幅 ( 在坐标表象上的表示而已！ 合理的假定：在任意状态上对力学量进行测量，所有可能出现的测量值都是该力学量的本征值。 由表达的力学量在态上的平均值用展开系数表示为 [例题1] 证明§1.3列出的定态特征（3）：在定态上，任何不显含时间的力学量的测量值的概率分布不随时间变化。 设定态为 力学量的本征函数系为 把定态中的向展开 在定态上测量得到的测值为的概率为 显然不随时间变化。 [思考] 如果 不是定态，例如 那么在上的测量值的概率分布如何随时间变化? 封闭关系 本征函数系的完备性用封闭关系表示 因为，如果完备，则对任意态都有展开式 代入 因态任意，则有封闭关系 连续谱情况 在连续谱情况下，要证明一个算符的本征函数系是否完备，有时是很困难的。但经常用到的坐标和动量算符的本征函数系都是完备的。 下面列出的是分立谱和连续谱情况的对照表。对照分立谱情况，容易推导连续谱情况的计算公式（课下推导）。 分立谱和连续谱对照表 分立谱 连续谱 本征方程 正交归一 封闭关系 展开式 展开系数 归一化 平均值 测量值概率 （1）坐标 本征方程： 本征值为的本征波函数： 因为: 正交归一化条件： 封闭关系： 完备性，任何波函数都可以向“展开”： （2）动量 因为动量算符的本征函数系是定义在整条实轴上的平面波，作为Fourier 变换的基底，其完备性是显然的。 、简并 若本征问题的解为 一个本征值对应一组线性无关的波函数 本征值 ( 度简并 波函数 ( 简并波函数 当 时，但当时？ 简并波函数集合中的波函数不一定正交。 [例题2] 设两个态函数和不正交，试由它们构造两个正交的态函数和． 用代表在上的投影 由和构造 容易验证 ． 量子力学的基本假设 物理体系的状态由希尔伯特空间中的态矢量描述，体系的每一个力学量由对这些态矢量作用的线性厄米算符表达。