数列求和的若干方法和技巧.docVIP

数列求和的若干方法和技巧 一．教学目标： 正确运用等差、等比数列的前n项和公式；掌握数列求和的几种常用方法，并能用其求一些特殊数列的和。 通过实例体会如何分析问题，解决问题，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的综合能力。 二．教学重点和难点：灵活运用分组转化法、错位相减法、裂项法求数列的和。 三．教学方法：通过自主学习、合作交流、高效展示、精彩点评激发学生的积极性、主动性，使学生达到学会——会学——乐学的目的；借助多媒体投影仪，提高课堂效． 与数列相关的问题高考中年年涉及，其数列和是热点之一。应用数列和可以解决一些数学问题。“当解决问题时，我们总要利用以前解决过的问题，用其结果或用其方法，或利用解决它们时所得到的经验。”本文试谈数列求和的若干方法（来源于教材）和数列和的一点应用. 一、公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： 3、 4、 5、 例 1：已知，求的前n项和. 解：由 由等比数列求和公式得 ＝ ＝ ＝1－ 解析：如果计算过程中出现了这些关于n的多项式的求和形式，可以直接利用公式。 二、倒序相加法 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个。 例2 求证： 证明： 设 …………….. ① 把①式右边倒转过来得 又由可得 …………..…….. ② ①+②得 ∴ 解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。 三、分组求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。 例3 Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1) 解法：按n为奇偶数进行分组，连续两项为一组。 当n为奇数时： Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-2n+1) =2×+(-2n+1) =-n 当n为偶数时： Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+3)+(2n+1)] =2× =n ∴Sn= 四、裂项法求和 拆项求和是较常见到的一种求和方法。在解题时要根据题目的特征灵活选择相应的拆项方法。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如： （1） （3） （4） （5） (6) 例4 已知等差数列满足：，，的前n项和为． （Ⅰ）求及； （Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和． 【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有 ，解得， 所以；==。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 所以bn===， 所以==， 即数列的前n项和=。 解析：要先观察通项类型，在裂项求和，而且要注意剩下首尾两项，还是剩下象上例中的四项，后面还很可能和极限、求参数的最大小值联系。 例5 求数5，55，555，…，55…5 的前n项和Sn 解： 因为55…5= 所以 Sn=5+55+555+…+55…5 = = = 解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。 五、错位相减法 在等比数列求和中，用到了错位相减法，该解法参见课本《数学》第一册（上）P126。这种求和的方法常用在等差与等比数列的混合积的和上。 例2．已知{an}是公差为2首项是1的等差数列，{bn}是公比为q首项为1的等比数列，求{cn=anbn}的前n项和sn. 解：易知an=2n－1，，所以。 sn=1+3q+5q2+……+(2n－1)qn－1 ① ①×q有q sn=q+3q2+5q3+……+(2n－3)qn－1 +(2n－1)qn ② ①－②有（1－q）sn=1+2q+2q2+……+2 qn－1 －(2n－1)qn， 当q≠1时，(1－q) sn= ∴sn=; 当q=1时，sn=1+3+5+……+（2n－1）=n2。 ∴ 1 -n (n为奇数) n （n为偶数） n n n