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概率数理统计练习题 一 事件的概率 1 古典概型 其中为事件中包含的样本点的个数，为样本空间中包含的样本点的个数 2 事件之间的关系 （1）和事件 与中至少有一个发生； （2）积事件 与同时发生； （3）互不相容 与不能同时发生，即 （4）对立事件 ， 3 公式 （1） 加法公式 （2）若与互不相容，则 （3） （4）若，则 二 一维随机变量 （一）随机变量 1 2 3 4 概率密度函数的性质 （1） （2） （二）常见的分布 1 离散型 （1）分布 （2）二项分布 （3）泊松分布 2 离散型 （1）均匀分布 （或） 二维时 （2）指数分布 其中为常数 （3）正态分布 设，相互独立，且， 则 则 三 二维随机变量 （1）二维随机变量的联合函数分布 性质 （2）二维连续型随机变量的联合密度函数 性质 （3）边缘分布 ， （4）随机变量的独立性 ， 四 随机变量的函数分布 1 离散型（一维，二维都要求） 2 连续型 （只要求一维） （1） 先求的分布函数，再求的密度函数 （2） 设连续型随机变量的密度函数为，是一个单调函数，且具有一阶连续导数，是的反函数，则 五 随机变量的数字特征 1 数学期望 （1）一维 离散 ，若，则 连续 ，，则 （2）二维 离散 ， 连续 ， 若 ，则 （3）性质 ； ； 若与相互独立，则 2 方差 性质： ； ； 若与相互独立，则 3 常见分布的期望和方差 分布 期望 方差 0-1分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布 六 参数估计 1 点估计 （1）矩法估计 一个参数 二个参数 （2）最大似然估计 步骤 写出似然函数 求对数似然函数 对参数求导，即，求解. 2 参数估计 （1）总体，且已知，则总体参数的置信区间为 当 当 当 （2）总体，但未知，则总体参数的置信区间为 其中 七 假设检验 步骤 1 提出原假设和备择假设 ； （，） 2 计算检验统计量 （） 3 找出临界值 0.05 双侧 右单侧1.645 左单侧-1.645 双侧 右单侧 左单侧- 0.01 双侧 右单侧 左单侧-2.33 4 检验统计量与临界值作比较，确定在接收域还是在拒绝域内 5 结论，并解释. 八 练习题 1 已知随机变量的分布函数为 （1）求常数；（2）；（3）； 2 设连续型随机变量的密度函数为 （1）求常数；（2） 3 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩， 试求（1）考生的外语成绩在60到84分之间的概率； （2）考生的外语成绩在84分以上的概率. 4 设二维随机变量的联合分布函数为 求常数. 5 一口袋中有三个球，它们依次标有数字，从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球，设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同，以分别记第一次，第二次取得的球上标有的数字 （1）求的联合分布函数 （2）求 6 设的概率密度函数为 （1）确定常数；（2）；（3）；（4） 7 设平面区域由曲线及直线，，所围成，二维随机变量在上服从均匀分布，求（1）的密度函数；（2） 8 已知的分布率为 （1）求的边缘分布率； （2）判断是否相互独立. 9 已知的概率密度函数为 求（1）常数；（2）边缘分布密度，； （3）是否相互独立 （4），，，， 10 设 （1）求边缘分布密度，；（2）， 11 设与相互独立，， （1）求的联合密度函数；（2）；（3） 12 假设有自动生产线加工的某零件的内径（单位：mm）， 内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品则亏损，已知销售利润（单位：元）与销售零件的内径之间有如下关系： ，试求的分布律. 13 设的分布率为 求（1），的分布律； （2），，， 14 已知随机变量的密度函数为 求（1）；（2）的密度函数. 15 的分布律 0 1 0 1 （1）求的边缘分