机器人雅可比矩阵2.ppt

解：根据图示的相应位姿关系得 因此可得两坐标系的微分运动关系和静力传递关系为： {S} {T} {S} {T} 微分运动关系时： 静力传递关系时： 4.3.1????Lagrange动力学 对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能K与总的势能P之差，即L=K-P。这里，L是拉格朗日算子；k是动能；P是势能。 或 利用Lagrange函数L，系统的动力学方程（称为第二类Lagrange方程）为： 　表示动能，　表示势能。 4.3??机器人的动力学 例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为m1和m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯性张量为（z轴垂直纸面）： 解：连杆1，2的动能分别为： 机械手总的动能为 连杆1，2的势能分别为 机械手总的位能（势能）为 计算各偏导数 将以上结果代入Lagrange方程 得 附：就前面的1自由度机械手用Lagrange法求解如下： 总势能为 代入Lagrange方程 得 ，与前面的结 果一致。这里I=IZ=IC+mL2C 解：总动能 ???????????（θ为广义坐标） z mg １.若1自由度机械手为匀质连杆，质量为m，长度为L，结果会怎样？ ２.若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量m在连杆末端L处，结果会怎样？ z Class is over.Bye-bye! 4.1.1??雅可比矩阵 两空间之间速度的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比，同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。 vx vy 存在怎样的关系 第四章 机器人雅可比 4.1??微分变换与雅可比矩阵 首先来看一个两自由度的平面机械手，如图3-17所示。 图3-17 两自由度平面机械手 容易求得 将其微分得 写成矩阵形式 假设关节速度为 ，手爪速度为 。 简写成 ：?dx=Jdθ。 　　式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，它由函数x，y的偏微分组成，反映了关节微小位移dθ与手部（手爪）微小运动dx之间的关系。 对dx=Jdθ两边同除以dt，得 可以更一般的写成 。 因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空间速度的线性变换。 （或v）称为手爪在操作空间中的广义速度，简称操作速度， 为关节速度。 J若是6×n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为 ： 式中，x代表操作空间，q代表关节空间。 若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列矢量，即 可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以单位速度运动产生的端点速度。 　　由 ，可以看出，J阵的值随手爪位置的不同而不同，即θ1和θ2的改变会导致J的变化。 对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。上例机械手雅可比矩阵的行列式为： det(J)=l1l2s2 当θ2=0°或θ2=180°时，机械手的雅可比行列式为0，矩阵的秩为1，因此处于奇异状态。在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。 只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即可求出，即 。 上例平面2R机械手的逆雅可比 于是得到与末端速度 相应的关节速度： 显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的关节速度将趋于无穷大。 4.1.2 微分变换 为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的误差，以及解决两个不同坐标系之间的微位移关系问题，需要讨论机器人杆件在作微小运动时的位姿变化。 一.变换的微分 ????? 假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变量的微分。 若它的元素是变量x的函数，则变换T的微分为: 例如给定变换T为： 二. 微分运动 所以得 ????? 设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对于基坐标系（静系）进行的(左乘)，总可以用微小的平移