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高等数学研究 V01．13。No．1 MATHEMATICS Jan．。2010 22 STUDIESINC。OLLEGE 整数环上的不可约多项式 陈雪雯1，吴晓红2 (1．广西经贸职业技术学院，南宁，530021，2．广西师范大学数学科学学院。桂林，541004) 精要 著名的Eisenstein判别法为寻求整系数不可约多项式提供了方法，但此判别法的三个充分条件具有 一定的局限性，致使对相当多的特殊整系数不可约多项式的判断失效．在总结前人研究工作的基础上，推导能有效 判断特殊不可约整系数多项式的方法，拓展原有研究结果，可拓宽判断不可约整系数多项式的工具和方法． 关簟词 整数环；不可约；多项式． 中田分类号0151．2 设，(z)∈Z瞳]是次数大于1的多项式，若引理4c23若 ，(z)在整数环Z上不能分解成两个次数比它低的多 ．厂(z)=矿+口z”1+如以+f， 项式的乘积，则称，(z)为整数环Z上的不可约多项 式．整数环Z上不可约多项式的常用判别法为以下 整数根，则八z在Z上不可约． Eisenstein判别法． 本文推广[2]中的结果，得到不可约多项式的一 设 引理l(Eisenstein判别法)[13 些判别方法．为此先给出以下引理． 厂(动=舭。+口，rl，1+…+alx+ao∈Z，引理5c13设 如果能找到一个素数户，使得 (1)夕、卜口．； 是一个整系数多项式，r(r，s互素)是它的一个有理 f口，rl，as-2，…，口o； 3 (2)p 根，那么必有 (3)夕2、卜ao， 那么，(z)在有理数域Q上不可约． sl口。，rI ao． Eisenstein判别法有一定的局限性，如 特别地，如果只z)的首项系数露。=1，那么，(z)的 ，(z)一z2+2z+5 有理根都是整数根，而且是口。的因子． 以下用Ix]表示不超过z的最大整数． 不存在满足Eisenstein判别法的素数，因此不能用 定理1 若 Eisenstein判别法来判定．为了克服这个局限性，前人 做了大量的研究，并在不可约多项式的判别法上取得 了大量的研究成果【2-‘】． 其中口；，，l，点∈Z，i=0，1，…，n一1，口。为素数，若以 引理2c23若 下条件满足： ，(z)=一+犯”1+b， (1)，(z)在Z上无一次因式I 其中a，b，n∈Z，九1，b为素数，I口士bl≠1， (2)ao’a·士1， (3)ao 则厂(z)在Z上不可约． i乃，J—l，2，…，志一1， 引理3c21若 则厂(z)在Z上不能分解为其中一因式的次数小于或 ，(z)一z。+nz。2+b， 等于五的多项式之积． a土b 证明 其中a