数学物理方法 charpt2 (周明儒).pdfVIP

第二章 复变函数的积分 2.1 复变函数的积分 2.2 柯西定理 2.3 不定积分 2.4 柯西公式 2.1 复变函数的积分 2.1.1 定义 B 设l 是复平面z 上某分段光滑的曲 l ξk zk 线，连续函数f (z) 在l 上有定义。 zk −1 分割 → 求和 z1 [zk −1 ,zk ] ξ 在每一小段 上任取一点 ， k A ， z0 做和式 n S ∑f (ξ )(z =−z ) n k k k −1 k 1 当 ，若极限lim S 存在，且与 的选择无关，则将此 n →∞ n→∞ n ξk 极限定义为函数f (z) 沿l 的路积分，即 n f (z )dz lim S lim ∑f (ξ )(zk =−z 1 ) ∫ n→∞ n n→∞ k k − l k 1 B n f (z )dz limS lim ∑f (ξ )(z =−z 1 ) ∫ n→∞ n n→∞ k k k − l l k 1 zk zk −1 将zk xk +iyk 和f (z ) u (x ,y ) +iv( x, y) 代入上式，有 z1 A ， z0 ∫f (z )dz ∫u (x ,y )dx =−v (x ,y )dy +i∫v (x ,y )dx +u (x ,y )dy l l l 此即复变函数f (z) 沿曲线l 的积分计算公式。 可见，复变函数的积分，归结为两个实变函数的线积分。 实变函数线积分的许多性质也适用于复变函数的路积分。 2.1.2 复