对于边界条件(2.3.2).pptVIP

第二章 插值与拟合 §2.3 三次样条插值 总结 2. 3. 4 三次样条插值函数的误差估计 2.3.3 三转角算法 2.3.2 三弯矩算法 2.3.1 三次样条插值函数的概念 2.3 三次样条插值 学习目标： 知道三次样条插值函数的概念，会求三次样条插值函数，进行误差分析。 高次插值出现龙格现象 L-插值（牛顿插值） Hermite插值 分段插值 但分段线性插值在节点处不一定光滑 分段Hermite插值 但导数值不容易提取（找到） 三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段 Hermite插值解决问题） 举例： 1 汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）； 2 木样条的来源。 2.3.1 三次样条插值函数的概念 一、背景 二、样条函数的定义 设在区间 　上取 　个节点 给定这些点的函数值 　若　　满足条件： 　　(3)在每个小区间 　上， 　是三次多项式。 则称 为三次样条插值函数。 定义 9 （3次样条函数） 提出问题： 3次样条插值函数 是否存在？是否唯一？ 如何计算？误差估计？ 　　三次样条插值函数是分段三次多项式，在每个小区间 　上可以写成 其中 和 为待定系数。所以， 共有 　个待定参数。 根据 　在　　　上二阶导数连续的条件，在节点 处应满足连续性条件 n 4 共有 　个条件。再加上 　个插值条件，共有 　个条件。因此，还需要2个条件才能确定 　 。通常在区间 　端点　　　　和 　上各加一个条件（称为边界条件），可根据实际问题的要求给定。通常有以下三种： （1）已知两端的一阶导数值，即 （2.3.1） （2）已知两端的二阶导数值，即 （2.3.2） 其特殊情况为 （3）周期边界条件 此时，对函数值有周期条件 注： 一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数。 2.3.2 三弯矩算法 　　三次样条插值函数 可以有多种表达式，有时用二阶导数值 　表示时，使用更方便。 在力学上解释为细梁在 处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称用 表示 　的算法为三弯矩算法。 　对 　 积分两次,并利用插值条件定出积分常数,可以得到 (2.3.4) 　　由于 在区间 　上是三次多项式，故 在 　上是线性函数，可表示为 其中 这是三次样条插值函数的表达式，当求出 后, 就由(2.3.4)完全确定. 对 求导得 由此可得 当 　　时, 　 的表达式由(2.3.4)平移下标可得,因此有 利用条件 　得 (2.3.5) 其中 (2.3.6) (2.3.7) 方程组(2.3.5)是关于 　的方程组,有 个未知数,但只有 个方程.可由(2.3.1)—(2.3.3)的任一种边界条件补充两个方程。 对于边界条件（2.3.1），可以导出两个方程 (2.3.8) 这样,由(2.3.5)和(2.3.8)可解出 ，从而得