华林-哥德巴赫问题：两个平方,两个立方和两个四次方.pdfVIP

数 学 年 刊 2015，36A(2)：161—174 DOh10．16205／j．cnki．cama．2015．0017 华林-哥德 巴赫 问题 ：两个 平方 ，两个 立方和两个 四次方 吕晓东1 提要 令 表示素因子不超过 r的殆素数，按重数计．作者证明了对于充分大的偶数 N， 方程 N= 。+Pi+P2+Pi+p+p2 有解，其中 是殆素数 P6，Pj0=1，… ，5)是素数． 关键词 华林一哥德巴赫问题，圆法，筛法，殆素数 MR (2000)主题分类 11P32，11N36 中图法分类 O156 文献标志码 A 文章编号 1000—8314(2015)02—0161—14 1 引 言 设 Ⅳ，1，2，… ，‰表示满足 2≤kl≤k2… ≤k，N s的自然数，混合幂的华林 问题是考虑下面方程 Ⅳ= + 。+… + s (1．1) 对于 Ⅳ是否有解． Hardy和Littlewood创立的圆法是解决这类问题的一个基本工具，但是相对于齐次 的华林问题 (即在 (1．1)中，满足kl=k2一 ．= )，混合幂的华林问题通常会遇到更多 的困难．特别地，如果进一步考虑解的个数的表示问题，在主区间和余区间的相关系数 选取上就会变得更加复杂． 当Xl，X2=2，X3，X4=3，X5，X6=4时，0用 R23，4(N)表示方程 (1．1)的解的个数． ， 1969年，Vaughan 【】证明了R2I314(Ⅳ)满足渐近公式 二324 R (Ⅳ)： 6 (ⅣⅣ +。(Ⅳ 一矗+)， I百／l 其中奇异级数的定义为 Gz (Ⅳ)=OO q 丘(e(竿))。e(一)． q= 1 aa=l = 1 i= 1 这个渐近公式表明，对于充分大的整数可以表示成两个平方数，两个立方数和两个 四次方数的和．注意到Vaughan的结果，有理由猜测对于充分大的偶数 Ⅳ，方程 Ⅳ=P+P；+Pi+pi+p2+p2 本文 2014年 1月 10日收到，2015年 1月21日收到修改稿 同济大学数学系，上海 200092．E—mail：xidolv@gmail．com 数 学 年 刊 36卷A辑 可解，其中P为素数．为了方便，我们约定不论是否带有下标 P总是表示素数．但是， 现有的解析数论的方法还不能证明这个猜测．然而，受到文 [2-3]的启发，我们能够用圆 法和筛法得到下面近似的结果． 定理 1．1 令 表示素因子不超过 r的殆素数，按重数计．对于充分大的偶数 Ⅳ m 令 R(N)表示方程 = Q Ⅳ=X。+Pi+pi+P；+P2+ U 解的个数，其中X是殆素数 P6，Py是奇素数．则有 蒜． U 2 符号和若干 引理 (n)与 (n)分别表示