二次函数逆向最值问题的优化策略.pdfVIP

第9期 高中毅学教与学 二次函数避向最值问题硇优化策略 龚海滨 王 茜 (江苏省扬州市新华中学，225009) 二次函数逆向最值问题，指的是 已知二 +I，对称轴为Y轴，符合题意； 次函数在某区间 l：的最值 ，求参数的取值或 若 )=3，则。=一1，此时 ) 取值范围的问题．这类问题灵活性大、题型新 颖 、综合性强，能有效地考查学生的思维品质 = ～ ÷ 一2x+l，但此时对称轴 =一2 《 干¨学习潜能，特别是综合分析能力及逆向思 维．若按常规方法求解这类 问题，往往较繁 [一÷，2]，故不合题意，舍去·． 琐 ，且难度较大．本文举例说明处理二次函数 逆向最值问题的一些优化策略，供大家参考． 综上所述，。的值为÷或一÷． 一 、 代入验证法 评注 二次函数在闭区间上的最值必在 例 1 已知二次函数 )= 。+(2a，一 区间的端点或抛物线顶点处取到，所以，将二 1)+1在区间I一÷，2I上的最大值为3，求实 次函数图象的顶点与区间端点的函数值分别 代入验证．即可确定二次 函数在区间上的最 数 。的值． 值．透过现象看本质 ，解题时不仅 回避 了繁琐 分析 本题若按常规方法求解 ，需分： 的分类讨论，而且可以轻松得解． (1)“0；(2) 0讨沦．在这两种情形中， 二、定量分析法 又要分别考虑对称轴相对于区问端点的位 例2 已知函数八 )=一÷ 。+ ，问是 置，每、一种情况又要分为 3种情况讨论 ，比较 麻烦!实际上 ，二次函数在闭区间上的最值必 否存在m，1,／ER，使得_厂()在区问[m，n]上 在区间的端点或抛物线顶点处取到，根据这 值域为[2m，2n]，若存在，求出7／1,，n的值，若不 个规律采用代人验证法，可以同避分类讨论， 存在，请说明理由． 取得简捷快速的效：果． 分析 含参数的二次函数在闭区间上的 解 因， ()=2ax+(2a一1)，故函数 最值问题 ，常规解法是根据二次函数图象抛 )的最大值只可能在 一32， 垫 处取 物线的对称轴相对于区间的位置分类讨论． ， 本题 )=一÷(一1)+÷，若按对称轴相 得． 对于区间的位置，则需分4种情况讨论，计算 若，(一罢．)=3，则。=一专，此时 ) 量较大目．易出错．但若考虑到 )≤÷，则必 一 一}2一} 黼轴=一 一 有2n≤了1，即n≤÷，据此，可得如下简捷解 符合题意； 若2)=：3，则n=÷，此时，()：÷2 法。解假设存在 ∈R ，使 )在区间 · 45 · 高中数学教与学