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跨考教育考研数学三09-10模拟试题1答案 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1、D 2、 C 3、A 4、D 5、D 6、D 7、D 8、D 二、填空题：9-14 小题，每小题 4分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。 9、 10、 11、 12、 13. 14. 三、解答题：15-23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）【解】（1）。 （2），，又因为在上连续，内可导 由Roll定理可得，存在一点使得，即 （3）因为，，及在上连续，内可导，由Roll定理，存在一点使得，即 。 （16）【证明】引入辅助函数 。 只需证明 考察 特别有： （17）【解】 所以。 （18）【解】（1）因为，所以， 从而， 且， 代入原方程得。 （2）方程对应的齐次方程的通解为 。 设方程的特解为， 代入得，故，从而的通解为 由，得，、故所求初值问题的解为 。 （19）【解】易见， 对，，特别有， 因此。 （20）【证明】 （1）利用反证法证明： 假设，其系数一部分等于零，另一部分不为零。也即存在，而其余系数不全为零。 则有，且不全为零。 因此，向量组线性相关。 这与已知条件矛盾，因此，假设不成立。 则要么全为零，要么全不为零。 （2）由于，因此我们可以给等式乘以再减去等式，由此可以得到。 整理后可得。 在上式中，由于的系数，由（1）的结论可知，其余项的系数也全为零。也即。 又由于，由（1）的结论可知全不为零。 则有。 （21）【解】 易得二次型的矩阵的特征值为， 作正交变换后所得二次型的矩阵的特征值为。 由于正交变换也是相似变换，因此不改变特征值。则有。 现计算所作正交变换， 对于特征值，有, 则易得齐次线性方程组的基础解系为，，对该向量组正交化并单位化的。 对于特征值，有 则易得齐次线性方程组的基础解系为，，单位化的。 令。则所作的正交变换为。 （22）【解】 （1）随机变量边缘概率密度； 随机变量边缘概率密度。 因此，条件概率密度 （2）。 由图像易得，。 因此。 （23）【解】 。 为了计算上述级数的和，我们考虑幂级数 。 对该式两边运用逐项求导定理可得。 由于，因此有。 也即，因此。则的矩估计量为。 为求的最大似然估计量，先设随机样本的观测值分别为，则似然函数。 为了便于求最大值，对似然函数求对数得。 对参数求导得 令得参数的最大似然估计。