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数值计算实验1 Lagrange插值和Newton插值 实验题：用Lagrange插值和Newton插值拟合[0, 2*pi]上的sin函数。 提示：（1）分别编写通用的Lagrange插值和Newton插值的程序； （2）在插值区间上采点； （3）调用程序进行插值计算； （4）必要时请画图。 解：1. Lagrange插值拟合： 用MATLAB实现Lagrang1编程： function [yt,L] = LagInterp1(x,y,xt) % 拉格朗日插值 % x,y:插值条件 % xt:用拉格朗日插值函数要计算的自变量，可以是多个 % yt:用拉格朗日插值函数计算出xt对应的函数值数组 % L: 拉格朗日插值多项式表达式 syms t; n=length(x); ny=length(y); if n~=ny error(插值节点x与函数值y不一致); end L = 0.0; for k = 1:n lk =1; for j = 1:n if j~=k lk = lk*(t-x(j))/(x(k)-x(j)); end end; L = L + y(k)*lk; end simplify(L); % 简化拉格朗日插值多项式表达式 L=collect(L); % 将拉格朗日插值多项式展开 yt = subs(L,t,xt); %计算插值点处的函数值 输入：x=[0:pi/10:2*pi]; y=sin(x); xt=pi; [yt,L] = LagInterp1(x,y,xt); % 画图 z=0:pi/20:2*pi; yz= subs(L,t,z); %计算插值点处的函数值 figure; plot(z,sin(z),--r,z,yz,-b) hold on plot(x,y,marker,+) hold on plot(xt,yt,marker,o) legend(sin(x),Lagrange插值多项式,(x_k,y_k),x=pi) xlabel(x) ylabel(y) 运行结果为： 1. NewtInterp插值拟合： 用MATLAB实现NewtInterp编程： function [yt,N] = NewtInterp(x,y,xt) % 已知数据点的牛顿插值 % x,y:插值条件 % xt:要计算的插值点，可以是多个 % yt:用牛顿插值函数出xt对应的函数值数组 % N: 牛顿插值多项式表达式 syms t; n=length(x); ny=length(y); if n~=ny error(插值节点x与函数值y维数不一致); end a=zeros(1,n); N = y(1); w = 1; for k=1:n-1 yy=zeros(1,n); % 记录差商 for j=k+1:n yy(j) = (y(j)-y(k))/(x(j)-x(k)); end a(k) = yy(k+1); w = w*(t-x(k)); N = N + a(k)*w; y = yy; end yt = subs(N,t,xt); simplify(N); N = collect(N); % 将插值多项式展开 N = vpa(N, 6); % 系数转化为6位精度 输入：x=[0:pi/10:2*pi]; y=sin(x); xt=pi; [yt,N] = NewtInterp(x,y,xt) % 画图 z=0:pi/20:2*pi; yz= subs(N,t,z); %计算插值点处的函数值 figure; plot(z,sin(z),--r,z,yz,-b) hold on plot(x,y,marker,+) hold on plot(xt,yt,marker,o) h=legend($\sin{x}$,Newton,$(x_k,y_k)$,$x=pi$); set(h,Interpreter,latex) xlabel(x) ylabel(y) 运行结果为：yt = -2.0661e-016 N =.670918e-19*t^20+.341935e-17*t^19-.332412e-15*t^18+.785002e-14*t^17-.51643e-13*t^16-.375057e-12*t^15-.22573e-11*t^14+.170875e-9*t^13-.3735e-10*t^12-.249431e-7*t^11-.257e-9*t^10+.275622e-5*t^9-.9806e-9*t