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Dirichlet判别法必要性证明的探讨
Dirichlet 判别法必要性证明的探讨 吴梦柳 （绍兴文理学院 数学系，浙江 绍兴 312000） 摘要：本文通过对广义积分和含参变量广义积分收敛的 Dirichlet 判别法必要性的证明，将文献[1]中的证明 方法进行了改进，给出了更具有一般性的证明. 关键词：收敛；有界；一致收敛；一致有界；Dirichlet 判别法 一般教材中，只给出了 Dirichlet 判别法充分性，其实经加强条件后，Dirichlet 判别法也 是有其必要性的.文献[1]分别给出了数项级数、函数项级数、广义积分和含参量无穷限函数 1 非正常积分中 Dirichlet 判别法充要条件, 又通过选取特殊的序列εi 3 ，构造了特殊的数 i ∞ 1 列（函数），并与特殊级数∑ 2 相比较，证明了 Dirichlet 判别法必要性.本文给出了含参 n n 1 量无界函数非正常积分中 Dirichlet 判别法充要条件.关于必要性的证明，本文从一个任意 ∞ 的收敛正项级数∑vn 出发，给出了更具有一般性的构造性方法. n 1 下面将以无穷限非正常积分，无界函数非正常积分和含参量无界函数非正常积分为例进 行论证. +∞ 定理 1：无穷积分 ∫ f (x )dx 收敛的充要条件是可以适当分解f (x) ϕ(x)ψ(x) ，使 a A ϕ(x) 在[a,+∞) 上单调，且x →∞时ϕ(x) →0 ，对∀A ≥a ， ψ(x)dx 存在有界. ∫ a ∞ 证明：必要性；设正项级数 ∑v 收敛,数列{α ,n 0,1,2, …}单调递减趋向于零(当 n n n 1
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