离散化方程求解.ppt

* 冶金数值—— 数值方法—— 离散化方程求解 迭代法 在各种计算传热和计算流体力学中，迭代法是最广泛适用的求解方法。这种方法的逻辑是“预估－校正”（guess and correct）原理，反复调用离散方程组来不断改进预设解的方式，并不断逼近问题的真解。比如一个简单的迭代方法——高斯－赛德尔法（Gauss-Seidel method），其过程可简化为： 预估 校正 收敛？ 结束 Yes No 预设求解区域内所有网格点处的φ的离散值； 依次访问每一个网格点，用下式对各格点φ值进行校正： 遍历求解区域直到覆盖所有网格点，至此完成一次迭代； 判断是否满足一个合适的收敛标准，比如网格点中φ值的最大变化值小于10-6，满足则停止，否则转入步骤②。 收敛 收敛速度 数据量 时间和空间平衡 * 冶金数值—— 数值方法—— 目录 偏微分方程的数学分类 1 离散化方法 2 离散化方程求解 3 差分方程的特性判断 4 偏微分方程的数学分类 1 离散化方法 2 差分方程四准则 5 离散化方程求解 3 差分方程的特性判断 4 * 冶金数值—— 数值方法—— 差分方程的特性判断 精度(accuracy) 解析解是精确解，离散解是近似解，所以存在精度问题； 精度的判断首先是截断误差O((Δx)n)，并由此来定义离散方法的阶数n； 从截断误差的形式判断，阶数越高越精确，网格划分越密越精确，这有一定道理； 但实际情况是“阶数越高越精确，网格划分越密越精确”这句话经常出错，主要因为：(1). 虽然整个数值解的精度取决于求解区域上的各节点离散方程的截断误差，但邻近边界的内节点，往往难于得到高截断误差的表达式；(2). 对于对流换热问题，除了上述数学上的一些误差外，更要顾及差分格式在物理特性上的表现，而这不是都能与截断误差联系起来的；(3). 过分细密的网格，会是计算机的运算次数大大增加，且误差的传播会使舍入误差被过分放大。所以现在的计算采用二阶精度截断误差的差分格式就可以了。 * 冶金数值—— 数值方法—— 差分方程的特性判断 相容性(consistency) 差分方程相容的数值方法是一种随着网格变得越来越细密，截断误差接近于零的方法。所谓差分格式的相容性（consistency），是指差分方程应该是微分方程组的某种近似。对于非稳态问题，无论空间和时间，都必须考虑截断误差。如果截断误差是空间步长Δx（或时间步长Δt）的某次幂，那么必定相容。有时我们会遇到方法的截断误差是O(Δx/Δt)，这时，除非Δx降低得比Δt快，否则就不能保证数值方法的相容性。相容性是一个非常重要的性质，没有它就不能保证改进网格能改进数值解。 * 冶金数值—— 数值方法—— 差分方程的特性判断 稳定性(stability) 差分方程的稳定性是指差分格式在实际运算时，所得的近似解能否任意逼近差分方程的准确解。“截断误差”、“舍入误差”、“试验误差”都将影响差分方程的近似解对准确解的偏离，而差分格式的稳定性（stability）要求所得的近似解能够任意逼近准确解，即要求把误差的传播控制在可以接受的范围内。 需要指出的是，稳定性是一个差分格式的固有属性，凡是稳定的差分格式，任何一个信息扰动在计算过程中被放大的程度都是有限的；而不稳定的差分格式，无论什么误差都会在计算中被不断放大，当计算时间足够长时，误差的传播会让得到的解毫无意义。 求解非稳态问题的稳定性更加重要，通常稳定性分析允许我们确定时间行进时在其解中的误差残留是否有限，这有时需要依赖CFD专业人士的经验和直觉。 * 冶金数值—— 数值方法—— 差分方程的特性判断 收敛性(convergence) 差分格式的收敛性（convergence）是考察其理论上的精确解能否任意逼近微分方程的解。即当时间、空间的网格步长趋于0时，如果各节点上的离散误差都趋于0，则称差分格式是收敛的。差分格式收敛性证明非常困难，但对于一般线性初值问题，差分格式的收敛性可以由其稳定性得到保证。 迭代法收敛于解，但不能保证收敛于微分方程的真解。 * 冶金数值—— 数值方法—— 目录 偏微分方程的数学分类 1 离散化方法 2 离散化方程求解 3 差分方程的特性判断 4 偏微分方程的数学分类 1 离散化方法 2 差分方程四准则 5 离散化方程求解 3 差分方程的特性判断 4 差分方程四准则 5 * 冶金数值—— 数值方法—— 差分方程的四准则 要保持差分方程与微分方程具有同样的性质，并且保证所得的解符合物理上的真实性，所得离散化方程必须遵循下列四个基本准则。 准则一：控制容积界面上通量的守恒性。 通过控制容积的任何一个界面上的通量（热量、质量和动量）应该保持守恒。例如从节点P经过界面e流出的热量应该等于经过同一界面e流入节点E的热量，这两部分的值在计算P点和E点时应该保持一致