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简谐振动与频谱分析 这一章是一些基础内容，主要介绍:(1)简谐振动的特点及表示方法、(2) 周期振动的谐波分析、(3) 非周期振动的谱分析、(4) 单位脉冲函数的定义、性质、应用等。 现实中很多结构振动（特别是人造的结构振动）是可以用函数关系表示的（揭示振动规律），根据运动表现形式振动可分为：（1）周期振动；（2）非周期振动。 而简谐振动是最简单的周期振动，重要的是周期振动可以分解为多个简谐振动的叠加。 §1.1 简谐振动的表示方法及合成 数学知识： 1． 2． ； ； 3． （和差化积） ――――――――――――――――――――――――――― 1. 简谐振动的表示 (1) 简谐振动的一般表示 简谐振动是周期振动中最简单的一种，它可以用正弦函数表示为 （1.1） A——振幅，——圆频率，——初相位 又称角频率，它与频率f，周期T的关系为 （1.2） （rad/s），f（Hz），T（s），为了方便，以后也称为频率。 从简谐振动的函数形式而言，若确定了振幅、频率及初相位这三者就完全确定了一个简谐振动，通常把振幅、频率和相位称为简谐振动的三要素。 图1-1 若x是位移，则 速度 （1.3） 加速度 （1.4） 可见，简谐振动的速度也是简谐运动，其速度的相位超前位移，简谐振动的加速度也是简谐运动，其加速度的相位超前速度。 从位移、速度、加速度的表达式可以看到它们的频率是相同，幅值是频率的函数。为测量提供了依据。 根据加速度的式子，我们有 （1.5） 即加速度大小与位移成正比，但方向总与位移相反，始终指向平衡位置，上式改写为 显然这个微分方程的解是以为频率的正弦函数或余弦函数。 (2) 简谐振动的旋转矢量表示 简谐振动可以用平面上匀速旋转的矢量来表示。旋转矢量在轴的投影ON即简谐振动。 利用旋转矢量能直观形象地表示简谐振动位移、速度、加速度之间的关系。 图1-2 (3) 复数表示 一个复数 容易得到 （1.12） 简谐振动的复数表示方法较便于分析，在以后解方程时常用到。 2. 简谐振动的合成 两个相同频率的简谐振动的合成仍是简谐振动，并保持原来的频率，这个很容易证明，自己看讲义。 频率不同的两个简谐振动的合成不再是简谐振动。频率比为有理数时，合成为周期振动，频率比为无理数时，合成为非周期振动。 设 又设频率比为有理数 （m、n为互质整数） 改写为： ， 即 令 证 所以，T就是与的合成后的周期，所以这时合成后的运动是周期运动。 当频率比为无理数时 即找不到周期T，所以这时合成的运动不是周期运动。 图1-3 频率很接近的两个简谐振动的合成会出现“拍”的现象。 设两个频率很接近的简谐振动为 设 ——小量 改写 为了简单起见，仅考虑振幅与接近的情况，上式的第二项可以忽略不计，利用三角函数的基本关系 这是一个可以变振幅的简谐振动，振动频率为，振幅为与零之间缓慢地周期性变化，如书p12页图1-4所示，这种现象称为“拍”，振幅的包络为 “拍”的周期为。[数学周期为，对称所以取一半]。 对于和不接近的情况，合成振动是频率接近为的变幅振动。 “拍”的现象在振动试验中是很有用的。 §1.2 周期振动的谐波分析 数学知识： 4． ：关于原点的偶函数，数学特征： 例如： ：关于原点的奇函数，数学特征： 例如： 5． 或： 是奇函数。 或： 是奇函数。 或： 是偶函数。 或： 是偶函数。 规律：偶偶得2（1＋1＝2）；奇奇得2（－1－1＝－2）； 偶奇得0（1－1＝0）；奇偶得2（－1＋1＝0）。 6． ； ； ――――――――――――――――――――――――――――――― 一、周期函数的谐波分析 周期振动在工程中是很常见的，如旋转系统的振动信号，往复机械振动信号等等。对于周期振动可以表示为：