平面几何讲座26题(含答案).docVIP

1.在中，，平分交于，如图，，垂足为，，为垂足。是中点，是中点。若的外接圆与的另一个交点为。求证：、、、四点共圆。 . 证明：作AQ延长线交BC于N，则Q为AN中点，又M为AC中点，所以QM//BC. 所以 . 同理， . 所以QM ＝ PM. 又因为共圆. 所以. 所以. 所以P、H、B、C四点共圆. . 故 . 结合，知为HP中垂线，易知， 所以O、H、E、M四点共圆. 如图，在△中，∥，△的内切圆与切于点，△的边上的旁切圆切于点，点是与的交点。 求证：、、三点共线. 证 设与交于点. 因为∥，所以，. 故只需证明 ，或. ………………10分 如图, 设、分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心， 、、、为切点，则 ， ， ， . ………………20分 又 ∽， 故可设 ， 则 故结论成立． ………………40分 3. 在中，点分别是三边上的点，点分别是的重心，点分别是的重心。 （1）求证：点共线； （2）直线共点的充要条件是直线共点。 证明：由三点共线得，，，且，其中， 故， ， ， ， ， 所以， ， ，所以，共线； （2）设分别交边于点， 且，其中， 由（1）得， 由共线得，，得，故， 轮换得，， 又由得，，故，由轮换得，，，且， 故由塞瓦定理，直线共点的充要条件是直线共点。 4. 是锐角的一条高,是线段上一点,延长交于点,延长交于点,又与交于点,过点的任意一条直线交线段于点,交线段于点,求证:. .如图连接并延长，交过点与平行的直线于.先证明.由塞瓦定理知，又(利用平行线的性质)，得，从而又得. 再证明，即要证：,设,,即上式······① 由于，则, 同理,则①式即证明或②，而, 又（角平分线定理）,即，又（梅涅劳斯定理），从而，即,②式得证. 5. 设和分别为的外心和内心，的内切圆与边分别相切于点，直线与相交于点，直线与相交于点，点分别为线段的中点，求证： 证明：考虑与截线PFD，由梅涅劳斯定理，有, 所以（为的半周长） 于是，因此， 这样 ，于是. 因为ME是点M到的内切圆的切线长，所以是点M到内切圆的幂，而是点M到外接圆的幂，等式表明点M到到外接圆与内切圆的幂相等，因此点M在外接圆与内切圆的根轴上，同理，点N也在在外接圆与内切圆的根轴上，故. 6. ⊙O1与⊙O2外切于P，过⊙O2上一点C作⊙O2切线交⊙O1于A、B两点，AP、BP分别与⊙O2交于、，CP与⊙O1交于，连交⊙O1于Q，连AQ交于K，求证：、、K三点共线。 证明：⊙O1与⊙O2关于P位似，∴O2C∥O1，AB∥，又∵，∴，， ∴，，∴，∴，∴ 在AP上取M使，连交AB于N，∴，，， ∴△AMC≌△，∴△∽△，∴，∴∥AQ 而，延长交AQ于K1，交于K2 ∴，∴，∴，∴ ∴K1、K2为同一点，∴K、K1、K2为同一点，∴、、K三点共线 7. 圆是△的内切圆．、、是、、上的切点，，，都是圆的直径．求证：，，共点． 证：设直线交于．过作圆的切线交于．显然． 则……⑴ 连结，，记圆半径为．易证、、、与、、、分别共圆，则． 所以，． 因为，， 所以……⑵ 将⑵代入⑴得：． 同理可知：，． 此时．根据塞瓦逆定理，可知三线共点． 即共点． 8. 设为直线上顺次排列的五点,,是外的一点,连结并延长至,恰使，.求证：. 证法一：过作∥AF，交于，故。 连结，知∥分别交于，连结。 因为，故、、、共圆； 因为，故、、、共圆， ∴、、、、五点共圆，故。 ∵，，∴，故，， ∴。 证法二：作外接圆，交射线于，则。 又由，知，所以、、、共圆，记该圆为。 下证必在内.用反证法，假设不在内。 连结、,则 又，∴，矛盾！ 于是，在延长线上.∵,，∴为切线，为切线，∴，故. 9. 如图，出三角形ABC中，利M为BC的中点，凜以AM为直径的圆分别与AC、AB交于D、E两点，凔圆在D、E两点的切线交于点H，刎证明． 证明：设，则， 设, , . 10. 在直角三角形ABC中，，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切与点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连接PC，PE，PF．已知，求证：∥． 证：连接DE，DF，则△BDF是等腰直角三角形．于是，故．又，所以△PFD ∽ △PDC，所以 ． ① 又由，，所以，△AFP ∽ △ADF，△AEP ∽ △ADE，于是 ，故由①得 ． ② 因为，结合②得，△EPD ∽ △EDC，所以，△EPD也是等腰三角形，于是，