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例谈估算的若干策略 苏州市江苏省木渎第二中学 母建军 215101 所谓估算，实质上是一种快速的近似计算，它的基本特点是对数值作适当扩大或缩小，从而对运算结果确定一个范围，或做出一个估计。 本质地看估算，它应该是一种数学意识，是在众多的信息面前，注重挖掘一批有用或关键信息的那种数学素养。运算能力的指标可归纳为： 准确、熟练、合理、简捷。 运算的合理性是运算能力的核心，运算的简捷是运算合理性的标志。只有深刻理解数学知识内在的本质属性，注意观察、分析题目的结构特征，挖掘题目中的每一条信息，筛选出关键或有用的信息，才能找准估算的切入点。一般地，估算有如下切入点：①用近似值估算；②数形结合估算；③思维直觉估算 ；④极端情形估算等。下面结合近几年的高考试题进行说明，用以抛砖引玉，期望对读者能有启发和帮助。 1. 用近似值估算 例1.（2003高考上海卷）方程x3+lgx=18的根x≈ . （结果精确到0.1） [简析]：这是一道典型的近似计算题，利用数形结合估算可能不够精确。令，易知当时，是增函数，由于，所以方程的根，故x≈2.6 例2. （2005高考江苏卷）若，则（ ） A. B. C. D. [简析]：此题用估算简单、快捷、准确。因为，不妨设，此时，有，故选A 2. 数形结合估算 例3. （2005高考湖北卷）若，则（ ） Ａ.Ｂ.Ｃ. Ｄ. y x= x= [简析]：令， ，如图画出图象，显然它们 1 P 交点P的横坐标，再令，则 0 x ， ，由数形结合 可知，故选Ｃ. 例4. （2005高考全国卷）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（ ） A．（－2，4）B．（－30，25） C．（10，－5）y D．（5，－10） [简析]：此题数形结合就可估算出正确答案。 依题设画出示意图， 因v=（4，－3），故|v| P 10 则P点沿着v的方向运动 25个单位后到点，显然 0 x 应该选C． -10 v 3. 思维直觉估算 例5.（2005高考湖南P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，，，，定义。若是的重心，，则（ ） A．点Q在△GAB内　 B．点Q在△GBC内　 C．点Q在△GCA内　 D．点Q与点G重合 [简析]：这是一个信息迁移问题,考查学生理性思维的能力。 由题设可知，若G为. 有== =； A ? 若，知=, =，=， Q 有，因此不难想象 B G C 点Q与AB边的距离最小，即点Q应该在△GAB内，故选A. 例6 （2005年上海春季高考卷）已知函数，数列的通项公式是），当取最小值时， .，由于，，而当时，，显然110. 4. 极端情形估算 例7. （2005高考辽宁卷）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长的比值为m，m的范围是（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. [简析]：因为钝角三角形三内角的度数成等差数列，所以其中一个角为60o，ABC中， ，此时考虑三角形为直角三角形时的情形，设，则有最大边与最小边长的比值为m， 所以钝角三角形时，有，故选B． 例8.（2005高考全国卷）设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为（ ） （A） （B） （C） （D） [简析]：如果我们动态地思考这个问题，让点P无限逼近点A，则点Q必无限逼近于点C，此时四棱锥B-APQC质变成了三棱锥A1-ABC，故选C。 总之，估算的确是一种行之有效的运算方法，运用它可以简化运算过程，缩短运算时间，优化思维品质，提高数学素养。它体现了近似与精确、抽象与直观、或然与必然、有限与无限的数学思想方法。而充分运用数学思想和方法是寻求与设计合理、简捷的运算途径的重要手段，运算目标的确定与运算途径的选择是寻求和设计合理、简捷的运算途径的关键所在。只有让学生真正理解数学思想和方法，学生才能自觉地运用数学思想方法寻求与设计合理、简捷的运算途径，学生只有通过反思运算过程，才能自我觉察、自我评价、自我调节，才能更深刻、更精确的掌握运算过程所用的知识、方法和数学思想. 经过这种深层次认知加工的过程，方能更有效地寻求与设计合理、简捷的运算途径。