弧长扇形.docVIP

24.4 弧长和扇形面积 情境感知 我们知道，弧是圆的一部分．可以根据圆的周长和面积用等分的方法推导弧的长度和扇形的面积．由于圆锥是由曲面的侧面和圆面的底面组成的，应该探究一种方法，将曲面展成平面图形，而展成的平面图形是什么图形呢？根据这一展开图的特征既可求得圆锥的侧面积和全面积． 基础准备 一、弧长和扇形面积 1．在半径是R的圆中，360的圆心角所对的弧长就是圆周长C__________，所以的圆心角所对的弧长为______________． 问题1．一弧长为，半径为2，则这条弧的度数为（ ） （A）60．（B）36．（C）30．（D）120． 2．由组成圆心角的________________和圆心角所对的____________所围成的图形叫做扇形． 3．在半径是R的圆中，360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S____________，所以圆心角为的扇形面积是________________． 问题2．若一扇形的弧长为12，圆心角为120，则扇形面积为（ ） （A）96．（B）100．（C）120．（D）108． 二、圆锥的侧面积和全面积 4．圆锥是由一个__________和一个____________围成的，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的___________． 5．沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，圆锥的侧面展开图是一个扇形．设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为__________，扇形的弧长为__________，因此圆锥的侧面积为______________，圆锥的全面积为________________． 问题3．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，求这个圆锥侧面展开图的圆心角． 要点探究 探究1．弧长与扇形面积公式的应用 例1．某校编排的一个舞蹈需要五把如图①所示的绸扇．学校现有三把符合要求的绸扇，将这三把绸扇完全展开刚好组成如图②所示的一朵圆形花．请你算一算，再做两把这样的绸扇至少需要多少平方厘米的绸布？（单面制作，不考虑绸扇的折皱，结果用含的式子表示） 解析：根据图②可知扇形的圆心角为120，再利用两扇形面积的差求得绸布的面积． 图① 图② 答案：∵，∴S绸面，∴2S绸面(cm2)．答：再做两把这样的绸扇至少需要540cm2的绸布． 智慧背囊：牢记扇形面积公式是解决这类问题的关键． 活学活用：有一把折扇和一把团扇，已知折扇的骨柄与团扇的直径均为30cm，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120，问哪一种扇形的面积大从而得到的风量也大？（折扇的面积是指它的贴纸部分） 探究2．求阴影部分的面积 例2．当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方档风玻璃上的雨刷器．如图是汽车的一具雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得端点C、D与点A的距离分别是115cm、35cm．你能帮小明计算出结果吗？ 解析：利用旋转的特征，得到雨刷CD扫过的面积等于扇形CAC与扇形DAD面积的差是解题的关键． 答案：∵△ACD是由△ACD旋转得到的，∴△ACD≌△ACD，∴CD扫过的面积等于扇形CAC的面积减去扇形DAD的面积，CD扫过的面积为． 智慧背囊：此类问题主要研究阴影部分面积的求法，利用图形的旋转及割补化复杂图形为简单图形，从而求得阴影部分的面积，将不规则部分的阴影面积化为规则图形面积的和差是解决问题的关键． 活学活用：某商品的商标图案如图所示（阴影部分）．其中，正方形ABCD的边长为10cm，以CD为直径在正方形内画半圆，再以C为圆心，10cm长为半径画弧BD，求图中的阴影部分的面积． 探究3．求圆锥的侧面积和全面积 例3．如图是一个纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面积展开图是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，下底面直径为4cm，母线长EF为8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积． 解析：先由弧长公式列出方程组，求出扇形OAB的圆心角，然后计算纸杯的表面积． 答案：由题意可得，弧AB的长度为6，弧CD的长度为4，设∠AOB，OAR，则OCR8．由弧长公式，得，，解得45，R24．即扇形OAB的圆心角为45．∴纸杯的侧面积为S扇形OABS扇形OCD，纸杯的底面积为，∴纸杯的表面积为44(cm2)． 智慧背囊：纸杯的表面积应为侧面积加下底面积．解题时，要把侧面积展成扇形面积进行计算． 活学活用：小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽．圆锥帽底面半径为9cm，母线长为36cm，请你帮助他们