2010实变函数和泛函分析初步试题.docVIP

浙江省2010年1月高等教育自学考试 实变函数与泛函分析初步试题 课程代码：10023 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设M是任意一个集合，N是M的所有子集构成的集合，则它们的基数之间的关系是（ ） A. B. = C. D.不能判定 2.设Q是R中有理数的全体，Q2={（r1,r2）|r1∈Q,r2∈Q},则在R2中Q2的开核（Q2）0是（ ） A.Q2 B. C.R2 D.R2＼Q2 3.设P是Cantor三分集，=，则（ ） A.0 B.1 C.-1 D.2 4.设在闭集E有定义，x0是x的一个孤立点，则在x0的振幅ω（x0）满足（ ） A.ω（x0）0 B.ω（x0）=0 C.ω（x0）0 D.不能判定 5.设为［a,b］上的有界变差函数，则关于f（x）的叙述不正确的是（ ） A.在［a,b］有界 B.可以表示为两个增函数之差 C.在［a,b］存在 D.在［a,b］可积 二、判断题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。 1.在所有无限集中，可数集的基数最小.（ ） 2.一列开集的交集是开集.（ ） 3.Rn（n1）中开集一定可以表示为可数个互不相交的n维半开半闭区间的合集.（ ） 4.可数个测度为零的集合的并集的测度不一定为零.（ ） 5.Dinichlet函数不是Lebesgue可测函数.（ ） 6.设在ERn上Lebesgue可积，则||在ERn上Lebesgue可积.（ ） 7.连续函数一定是有界变差函数.（ ） 三、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.设集列满足,则=______. 2.设E是［0,1］中的全部有理点,则E在R2的闭包=______. 3.设Sn=（n,∞）（n=1,2,…），则 =______. 4.设在E上可测,______. 5.设在上Lebesgue可积，,分别表示的正部与负部，且则=______. 6.设f（x）是可测集E上可积函数，，记，则它们的大小关系是______. 7.______. 8.设,则的全变差______. 四、完成下列各题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 1.设,对任意,存在闭集F，使得,证明E是可测集. 2.设在E上非负可积，若,证明依测度收敛于零. 3.设在［a-ε0,b+ε0］上可积，证明:.