2009实变函数和泛函分析初步试题.docVIP

浙江省2009年10月高等教育自学考试 实变函数与泛函分析初步试题 课程代码：10023 一、单项选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设f（x）在E上有定义，D与D′是E的两个可测分划，D′是D的加细，s（D′，f）与s（D,f）分别表示f（x）在E上的两个Darboux小和，则有（ ） A.s（D,f）≤s（D′,f） B.s（D,f）=s（D′,f） C.s（D,f）≥s（D′,f） D.不能确定 2.设Q是R中有理数的全体，则在R中Q的闭包是（ ） A.Q B. C.R D.R＼Q 3.设{Fn}是一列闭集，F=Fn,则F一定是（ ） A.开集 B.闭集 C.开集，也是闭集 D.不能确定 二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。 1.可数个可数集的并集是不可数集.（ ） 2.若点集E的任一个聚点属于E，则E一定是闭集.（ ） 3.设P是Cantor三分集，x∈P,则x一定不是内点.（ ） 4.设A,B是Rn中的两个可测集,则A∩B不一定可测.（ ） 5.Dirichlet函数是不可测函数.（ ） 6.设f（x）是［a,b］上的单调函数,则f′（x）a.e存在.（ ） 三、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.设=1是一列单调递增的集列,则An=______. 2.设ERn是开集,则CE是Rn中______（开,闭）集. 3.Lebesgue可测集可以表示为______集与零测度集的和集. 4.设f+（x）与f-（x）分别是f（x）的正部与负部,则|f（x）|用f+（x）与f-（x）表示为|f（x）|=______. 5.设f（x）在E上Lebesgue可积,则对任意可测子集AE,=______. 6.设F1Rp,F2Rq为闭集,则F1×F2是Rp+q中的______（开,闭）集. 7.设Fn=［,1-］,n=3,4,…,则=______. 8.设f（x）是［a,b］上有界变差函数,E={x∈［a,b］|f′（x）}不存在,则mE=______. 9. =______. 10.设mAn=0,E=,则mE=______. 四、完成下列各题（本大题共4小题，每小题9分，共36分） 1.设E是函数y=的图形上的点所组成的集合,在R2中讨论,E′,E,. 2.设f（x）在E=［a,b］上可积,试证明:对于任意ε0,存在E上的连续函数（x）使得. 3.设E可测,试证明:对于任意ε0,存在开集G与闭集F使得FEG且m（G-E）ε, m（E-F）ε. 4.设mE∞,fn（x）（n=1,2,…）是点集E上a.e有限的可测函数列,fn（x）（n=1,2,…）a.e.收敛于有限函数f（x）,则对任意ε0,存在常数C与可测集E0E,m（E＼E0）ε使得对一切自然数n,有 |fn（x）|≤C.