2008实变函数和泛函分析初步试题..docVIP

浙江省2008年1月高等教育自学考试 实变函数与泛函分析初步试题 课程代码：10023 一、单项选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设Q是I=［0，1］中有理数的全体，从R1来看，边界Q=（ ） A.I B.Q C.I＼Q D.φ 2.设R是实数集，P是Cantor三分集，x∈P，下列叙述正确的是（ ） A.x是P的内点 B.x是P的外点 C.x是P的界点 D.x是P的孤立点 3.设f(x)在闭集ERn上R可积，I1=(R)，I2=(L)，则有（ ） A.I1＜I2 B.I1=I2 C.I1＞I2 D.不能比较 4.设An(n=1，2，…)是一列递增集合，F=，则F与G的外测度满足（ ） A.m*F＜m*G B.m*F=m*G C.m*F＞m*G D.不能比较 二、判断题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。 1.完全集是没有邻接余区间的闭集.（ ） 2.Cantor三分集中必含有内点.（ ） 3.外测度为零的集是可测集.（ ） 4.设f(x)=0 a. e. 于E,则=0.（ ） 5.设f(x)是［a，b］上有界变差函数，则f′(x)在［a，b］上可积.（ ） 6.y=f(x)在［a，b］满足Lipschitz条件，则y=f(x)在［a，b］能表示为两个增函数之差.（ ） 三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.设An(n=1，2，…)是一列集合，则=_________. 2.设A2n-1=［0，］， A2n=［0,n］，n=1，2，…， 则=_________. 3.设Sn=(n，+∞)， 则=_________. 4.设f(x)=，则x∈R＼Q，f(x)在x的振幅ω(x，f) =_________. 5.设h(x)与g(x)是E上两个非负实函数，它们分别是某个实函数的正部与负部的充分必要条件是_________. 6.设f(x)是ERn上实函数，则对任意实数a，=_________. 7.设E是函数f(x)=的图象上的点构成的集合，从R2来看，闭包=_________. 8.设Gn=(-1-，1+)，n=1，2，…， 则=_________. 9.设fn(x)=， 则=_________. 10.设I1,I2分别是Rp，Rq的区间， E=I1×I2， 当xI1， 则截面Ex=_________. 四、完成下列各题（本大题共3小题，第1与第2小题各8分，第3小题10分，共26分） 1.设f(x)是［a，b］上可微函数，证明f′(x)在［a，b］上可测. 2.证明. 3.设f(x)是［0，1］上有界变差函数且在x=0连续,如果对任意的1＞ε＞0，f(x)在［ε，1］上绝对连续,证明f(x)在［0，1］上绝对连续.