金融工程学 (第八章).pptxVIP

第八章 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型;一、股票价格的变化过程; 1、布朗运动（Brownian Motion）：起源于英国植物学家布朗对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。在数学中，我们用维纳过程描述布朗运动。 对于标准布朗运动来说，设 代表一个小的时间间隔长度， 代表变量z在 时间内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两种特征： 特征1： 和 的关系满足 ，其中， 代表从标准正态分布。 特征2：任何两个不同时间间隔 ， 相互独立。 ; 2、使用布朗运动刻画股票价格运动的原因 (i) 正态分布：经验事实证明，股票价格的连续复利收益率近似地服从正态分布。 (ii) 数学上可以证明，具备特征 1 和 2 的维纳过程是马尔可夫过程，从而与弱式效率市场假说相符。 (iii) 维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次变分（ Quadratic Variation ）不为零的性质，与股票收益率在时间上存在转折尖点等性质也是相符的。; 3、普通布朗运动 遵循普通布朗运动的变量 x 是关于时间和z的动态过程： ，其中 adt 为确定项，漂移率 a 意味着每单位时间内 x 漂移 a； bdz 是随机项，代表着对 x 的时间趋势过程所添加的噪音，使变量 x 围绕着确定趋势上下随机波动，且这种噪音是由维纳过程的 b 倍给出的， 称为方差率，b 称为波动率。; 普通布朗运动的离差形式为 ?x 具有正态分布特征，其均值为 ，标准差为 ，方差为 在任意时间长度 T 后 x 值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT ，标准差为 ，方差为 标准布朗运动为普通布朗运动的特例。; 4、伊藤过程 其中，z 是标准布朗运动， a 、 b 是变量 x 和 t 的函数，漂移率为 a ，方差率为 。 几何布朗运动： ，其中 μ 和 σ 均为常数。 ; 一般用几何布朗运动来描述股票价格的随机过程，原因在于 (i) 可以避免股票价格为负。 (ii) 几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较为吻合。; 5、伊藤引理 若变量 x 遵循伊藤过程，则变量 x 和 t 的函数 G 将遵循如下过程： 其中，z是标准布朗运动。 由于衍生产品价格是标的资产价格和时间的函数，因此伊藤引理在衍生产品分析中扮演重要的角色。; 例：假设变量 S 服从几何布朗运动 令 ，则运用伊藤引理可得 G所遵循的随机过程为 练习：若无收益标的资产S服从几何布朗运动，则该标的资产的期货价格F遵循怎样的随机过程？ ; 6、股票价格的变化过程 股票价格服从几何布朗运动 ，意味着 几何布朗运动具有如下性质： (i) S 不会为负。 (ii) 股票连续复利收益率服从正态分布。 ; T ? t 期间年化的连续复利收益率可以表示 可知随机变量 η 服从正态分布 ; 股票价格的对数服从普通布朗运动，特定时刻的股票价格服从对数正态分布。; 例：设 A 股票的当前价格为 50 元，预期收益率为每年18% ，波动率为每年 20% ，假设该股票价格遵循几何布朗运动且该股票在 6 个月内不付红利。请问该股票 6 个月后的价格 的概率分布如何？A 股票在 6 个月后股票价格的期望值和标准差分别是多少？; 7、衍生证券价格所服从的随机过程 当股票价格服从几何布朗运动 根据伊藤引理，衍生证券价格 G 应遵循如下过程： 衍生证券价格 G 和股票价格 S 都受同一个不确定性来源 z 的影响。 ;二、BSM期权定价公式; 2、 BSM 微分分程的推导 由于假设股票价格 S 遵循几何布朗运动，因此有 在一个小的时间间隔 ?t 中， S 的变化值 ?S 为： 设 f 是依赖于 S 的衍生证券的价格，则 f 一定是 S 和t 的函数，根据伊藤引理可得; 在一个小的时间间隔 ?t 中， f 的变化值 ?f 满足： 为了消除风险源 ?z ，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组