等分点公式青蛙公式.DOC

【神秘的青蛙（等分點公式）】made by 賴桑(2008年) 基本原理（由等差數列推論証出） 題目：如下圖，在ｘ及ｙ之間分成（ｍ＋ｎ）等分，內部分點坐標即可由公式求出。 【Key】請記得，m，n需化為最簡整數比 【推論過程：】 １、在ｘ到ｙ之間分成（ｍ＋ｎ）等分，則可得每一等分之小距離為ｄ＝ ２、分點坐標由ｘ向右加上ｍ個小距離，得 基本題型：給定Ａ( -2 )、Ｂ( 7 )二點 中點型 中點坐標 內分點型 內分點坐標 外分點型 令外分點坐標為M，利用青蛙公式解一元一次方程式。 解一次式， ，∴ 三、相關應用題型（常用）---配合段考、模考、基測題目 １、等差數列：給、求 【課內題型】 一等差數列的第5項為20，第12項為 -15，求這個數列的第25項為何？ 【參考解法】 依題目套用等差公式得 解聯立方程式可得， 再代入求得 【青蛙解法】 解一次式， ∴M = -80 ２、直角坐標系一：三點共線型 【90基測一】 一群海盜在無名島上藏了三批珠寶，先在島上A地藏了第一批珠寶，然後向東走M公里，再向南走5公里到B地藏第二批珠寶，再循原路回到A地後，向西走6公里，再向北走10公里到C地藏第三批珠寶。如果A、B、C三地恰好成一直線，則M＝？ 3 (B) 6 (C) (D) 12 【分析圖解】 【參考解法】 設標準式，圖形通過A、C二點 解聯立可得 ∴，此函數也過B點 ( M , -5 ) ∴，可得M = 3 【青蛙解法】 解一次式， 可得M = 3 【Key一】可將y坐標放上面，x坐標放下面 【Key二】請記得眼睛要化為最簡整數比 ３、梯形之中線長及內分線長一：相似形之應用 【第五冊課本例題】 小民和大魁要測量樹的高度。小民先從樹下一點Ａ向前走９步，設為Ｂ點，並從Ｂ點再向前一步，設為Ｃ點。大魁在Ｂ點豎一根棍子（棍子要比人高）。小民站在Ｃ點，望向樹梢Ｄ，視線與棍子交於Ｅ點；而兩眼平視，視線與棍子交於Ｆ點。若大魁量出公分，公分，則樹高約為多少？ 【參考解法：課本解法】 設小民眼睛的位置是O點，視線水平方向與樹交於G點。 ∵ ∴ 可得 因此，可知公分 ∴樹高公分 【青蛙解法】 解一次式， 可得M = 410 ４、梯形之中線長及內分線長二：相似形之應用 【第五冊習作題】 如右圖，，已知，且，，求之長？ 【參考解法】 先將梯形分解成一個三角形ABH及平行四邊形AHCD。 由圖中可設，可推得 ， 又∵，∴，即，最後解出 【青蛙解法】 解一次式， X = 4 【Key】先將梯形逆時針旋轉90度 ５、線型函數一：通話費率、網咖費用… 【93基測二】 右圖是某電信公司的通話計費方式：300秒內只繳基本費用，超過300秒之後的費用，與通話時間成線型函數，則基本費用是多少元？ 26 28 30 32 【參考解法】 設函數標準式，代入二坐標得 ，解開得 ∴函數式為 代入第三坐標（300 , M） 【青蛙解法】 解一次式， ∴得M = 32 ６、線型函數二：影印剩下張數、飛機降落高度… 【93基測二】 右圖為小美影印資料時剩下張數和時間的關係圖。利用圖中所提供的數據，推估小美在9:00時影印的情形是下列那一種？ 來不及印完 剛好印完 提前一分鐘印完 提前半分鐘印完 【參考解法】 設函數標準式，代入二坐標得 ，解開得 ∴函數式為 代入第三坐標（60 , M）(將9:00看成8:60分 ∴在9:00時，剩下0張，即剛好印完，選 (B) 【青蛙解法】 解一次式， ∴得M = 0 ∴在9:00時，剩下0張，即剛好印完，選 (B) ７、線型函數三：火車過橋 【97模考一：文揚版】 太魯閣號列車以等速度通過東部幹線的三座大橋，第一座大橋長度476公尺，第二座大橋長度836公尺，第三座大橋長度1036公尺。已知列車完全通過第一座大橋需14秒；完全通過第二座大橋需23秒，則列車完全通過第三座大橋需幾秒？(完全通過意指列車由右圖一行至右圖二所需的時間) 車長 橋長 【參考解法】 火車過橋，計時是「頭進尾出」才結束，所以 可由第一、二關係式解出 再代入第三式，可得M = 28 【青蛙解法】 解一次式， ∴M = 28 ８、特殊題型：給時間求夾角：（較少用，請小心） 【直接求３：４０長短針之夾角】 【參考解法一】 【Key】分針每小時走360度，即每分鐘走6度 【Key】時針每小時走30度，即每分鐘走0.5度 從3:00到3:40分，分針走了40分，即走了度，而時針在此時間內走了度，再加上原本位置上有一個直角，所以二針相差之角度為240 – 20 – 90 = 130度 【參考解法二，賴桑特解】 【Key一】外圍是「絕對值」，∵角度要為正。 【Key