2-6向量范数和矩阵范数相容性.pptVIP

;书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取;;教 学 内 容 和 基 本 要 求; 在矩阵范数中,相容性 尤为重要，那么 矩阵范数与向量范数之间有类似的性质？;例1 证明矩阵范数 与向量范数 是相容的。;例2 证明矩阵范数 与向量范数 是相容的。;||A||F 与 ||x||2 相容的性质反映了 ||A||F 是像 Ax 的2-范数 ||Ax||2 与原像 x 的2-范数之比的最大值，即; 给定 上的向量范数 ， 定义;证明 (1) 当A为非零矩阵时，一定可以找到非零向量 x ，使 Ax≠0 ，从而有;(3) 对任意的方阵A，B∈Cn×n，;再证||A||与|| x ||v的相容性。;定理2: 设 是 上的向量范数,则; (2) 显然;例3 证明由n维向量的1-范数， ∞-范数和2-范数所诱导的算子范数分别是(设A=(aij)n×n) ;证明 (1) 设A的各列向量为αi，即; (2) 假设i=k时， 取得最大值，即;设与之对应的标准正交特征向量为 ，即有;即 ，从而证得;设 是定义在 上的一种矩阵范数，则在 上必存在与它相容的向量范数;3, 正定性;定理3 设A为n阶方阵，则;取;又由于;(4) 由(2)和(3)，可得;证明 设λ为矩阵A的一个特征值，相应的特征向量 为x≠0，则;Good