以三中线长为三边的三角形面积与原三角形的面积关系.DOC

三角形重心的教與學 /南門國中 曾明德/91.02.18 從一道81年的北聯考題說起 85年家教學生準備參加北聯，我整理79～83北聯試題，作為上課複習之用。 說明1：79～83北聯資料是陳昭地教授的大四數學評量課程所給的。 說明2：家教學生→女（陳、住永和，念北市中正國中，數學學習意願及成績低落。因曾上過英語才藝班的影響，使其對自己的英語能力頗具信心與興趣。） （81年北聯考題，計算題、已畫好輔助線、有三小題。） 如圖，設G表△ABC的重心，＝9，＝15，＝12，若延長中線至K使＝； （1）△GBK的三邊長 ＝ ，＝ ，＝ 。 （2）求＝？ （3）求△ABC的面積＝？ 90.12.10家教學生主動問問題 說明1：家教學生→女（王、私立延平、數學程度中上）。 說明2：徵得學生同意後，指派其每日自行練習＜教育出版社的數學示範教材＞約10題。 （教育出版社的數學示範教材P.168，2001年7月，選擇題、沒有輔助線） 如圖，設G表△ABC的重心，＝9，＝15，＝12，求△ABC的面積＝？ （A）60 （B）72 （C）96 （D）120 重點是：我是如何想到的呢？ 雖然以前整理過（85年，舊經驗），但是我已經忘記了。（可見學數學及教數學都有進步 空間）本題在被改為單題（選擇題）、沒有給輔助線的情況下，難度比81年北聯難！這種因 應學力測驗只考選擇題，而修改以前課程下（74年版教輔助線、幾何推理）的聯招考題的作 法，不失為找好題目的方法。但是以本題而言，修改的方式必須更慎重！ （我所修改） 如圖，設G表△ABC的重心，＝9，＝15，＝12，若延長中線至K使＝； 求△ABC的面積＝？ （A）60 （B）72 （C）96 （D）120 90.12教三年級第五冊第三章第三節三角形重心部分（83年版） 我所關注的問題是：如何向學生說明「三角形的三中線會交於一點嗎？」首先我必須先說服自己。備課時，仔細看了83年版的呈現方式（生活經驗、實驗、使用到相似形做幾何推理），但印象中74年版是完全採用幾何推理證明，而且不是使用相似形做幾何推理。在深怕對不起〝歐幾里得〞的幾何邏輯體系以及使命感的驅使之下，遂仔細看了74年版（輔助線、幾何推理）和83年版（實驗、相似形），並且做了一番比較。 但我並不準備按照74年版或83年版的方式呈現。後來幾經考量下，決定提出一個中心問題－「三角形的第三條中線會通過前兩條的交點嗎？」 我覺得這個方式（教師布題→學生解題）似乎能兼顧兩者。一為：九年一貫課程的課程目標中所提到的「數學學習活動應讓所有的學生都能積極參與討論，激盪各種想法，激發創造力，明確表達想法，強化合理判斷的思維與理性溝通的能力，期在社會互動的過程中建立數學知識。」但是既要討論，最好事先能擬出討論的大綱；二為：因為是開放性的問法，學生必須提出能〝說服〞大家的觀點，整個過程對〝歐幾里得〞比較有交待。這一段經驗，令我對於數學的教與學信心大增。 （教室內三角形的重心教學活動大綱） 請找出△ABC中，的中點E，的中點F。 （方法不限制，進行銳角△，直角△、鈍角△視課堂時間，不要給等腰△） 觀察下面的圖形，有何結論？ 量一量 ＝ ＝ （虛線為折痕） 如圖，、稱為△ABC的中線（頂點與對邊中點連線）。 設、相交於G。 （1）請找出第三條中線：先找出的中點D，再連接 （2）請問：第三條中線會通過G點嗎？ 實驗結果：三中線會交於一點G。（暫不給中文名字） （3）你如何確認實驗結果的正確性？（怎知實驗沒有誤差呢？科學實驗VS.數學實驗） 首先，、必定會相交於一點。（假設為G點，但不確定第三條中線是否會通過G。） 想一想，接下來該怎麼辦？ 我們採取下面的策略： 連接並延長，設交於P（但不確定P是否為中點。） 接下來，只要想辦法證明：＝即可。（why？） 結論： 以後找三中線交點（G），只要畫兩條中線就夠了。（反正第三條必過前兩條交點） G到頂點的距離 ＝ G到對邊中點距離 ×2 來幫三中線交點G取個中文名字（配合83年版課本第五冊§3-3活動三） （1）檢查會不會是外心呢？（外接圓的圓心） （2）檢查會不會是內心呢？（內切圓的圓心） 五、進行重心性質的簡單計算（含面積問題） 於是當王問我這道題時，我嘗試補上輔助線，試試後，發現：6，8，10→直角三角形。（Aha！Insight）。但是，若數字是一般的該怎麼解呢？（並未和王討論下去，也就是說，已知三角形的三中線長，求原三角形的面積？有解嗎？） 91.01.05拿到清揚（大學同學，目前為師大研究生）幫我印的proofs without words。大概翻看了與國中相關的題材。其中proofs without wordsII－P.16。因為有提到中線，所以仔細研究了圖形。