如何计算有质量弹簧的形变量 于秀安 在高中物理阶段所处理的弹簧 .DOC

如何计算有质量弹簧的形变量 于秀安 在高中物理阶段，所处理的弹簧问题，都是将弹簧理想化为轻质弹簧，即没有质量．如果将两个大小不等的F作用于轻弹簧的两端，根据牛顿第二定律，轻弹簧将会产生无穷大的加速度，导致问题无法研究．因此大多高中题目中都强调是轻弹簧，弹簧各处张力相等，两端受的的拉力大小时刻相等，弹簧伸长量根据胡克定律，其中Ｆ是弹簧一端受力的大小．如果是有质量的弹簧则不同，对于有质量的弹簧两端的拉力可以随便取，一旦弹簧两端拉力不同时，伸长量又是多少呢？ 虽然高中阶段对于有质量弹簧不做要求，但是在奥赛题目中会经常涉及此方面内容，所以笔者认为作为物理教师应该了解这方面的知识． 例１：如图１所示，一质量为m的分布均匀的弹簧平放在光滑水平面上，两端分别施加沿桌面方向大小分别为F1、F2的拉力，且F1≠F2，根据牛顿第二定律可知，弹簧会在水平面上以一个加速度a做匀加速直线运动，同时弹簧被拉伸，如果弹簧的劲度系数为k，试求这种情况下弹簧的伸长量． 让我们先从最简单的情况入手，如图2，即弹簧只有一端受力，大小为F，同样平放在光滑的水平面上，试求的弹簧伸长量． 解析：这种情形下，弹簧质量不能忽略，弹簧在力F作用下匀加速运动，就不能盲目的用胡克定律了，弹簧上各点的张力也不再相同，靠近拉力的一端为F，向右弹簧上各个点受的的张力逐渐减小，到右端时受张力为0，由于弹簧质量分布均匀，弹簧上各点张力变化呈线性变化，这样我们就可以想到用微元法是否可以解决此问题． 设弹簧长度为L ，从距右端x处取微元dx，由于弹簧上的张力是逐渐减少的成线性变化，不难理解，在dx右端受的张力 （1） 由于dx很短，dx左端的张力F1＇相对于右端的F2＇变化很少，所以可认为F1＇= F2＇，再加上dx质量很小，所以可将dx段看做是轻弹簧（如图4），其伸长量为 （2） 要注意dx段的弹簧劲度系数k＇不再等于k，但是我们可以通过弹簧串联弹性系数的变化规律，不难计算 （3）， 将（1）和（3）代入（2），化简得 （4） 对微元（4）积分 可以得出结论：水平放置的有质量弹簧，如果只有一端受水平拉力F，则弹簧的伸长量为 这时再回过头看例1中的问题，水平放置的弹簧两端分别受力F1、F2，弹簧的伸长量应该是多少呢？ 方法一：根据上述结论，如果只有F1弹簧伸长量为，如果只有F2弹簧伸长量为， 两个力都使弹簧伸长，根据力的独立作用原理，这时弹簧的伸长量为 方法二：同样利用微元法，不同的只是dx段所受的张力有所变化 从而 扩展：如果弹簧是竖直放置，伸长量与两端受力情况又是怎样的呢？ 例2：将一质量为m的弹簧悬挂在半空中，由于弹簧自身的重力，弹簧会被拉长，已知弹簧劲度系数为k，试求伸长量． 解析：分析此种情况下弹簧的受力情况，弹簧只有一端受力为T，另一端受力为0，此时弹簧上各点受张力情况和平放的弹簧一端受力为T是一样的（如图3），同样可以用微分法求出 如果弹簧静止或匀速则 同理，如果竖直放置的弹簧两端分别施加F1、F2的拉力，这种情况下弹簧各处受张力情况和图5相同，所以弹簧的伸长量同样为 对上述问题的讨论可得出结论：不管弹簧是水平放置，还是竖直放置，如果弹簧两端拉力分别是F1和F2（可以为零），那么弹簧的伸长量 扩展：上面讨论的都是弹簧受到拉力，弹簧伸长的情况，那么当弹簧受到压力，或是一端受拉力一端受压力的时候（如图7），弹簧是被伸长还是压缩，形变量又是多少呢？ 如果理解了上述的讨论过程，不难证明，如果弹簧两端都是压力且分别为F1和F2（可以为零），那么弹簧的压缩量为 如果弹簧一端受拉力F1，一端受压力F2 若那么弹簧被伸长，伸长量为 若,那么弹簧被压缩，压缩量为 若，弹簧处于原长 ． 3 图1 m F2 F1 图2 m L F F x dx L F2＇ F1＇ dx L F1 x dx L F2 图3 T m 图4 图5 图6 图7 m F2 F1 m F2 F1