61控制系统的数学描述与建模.ppt

§6.1 控制系统的数学描述与建模 一、微分方程 常微分方程是控制系统模型的基础。MATLAB提供了两个求解微分方程数值解的函数，龙格—库塔法ode23、ode45（采用2阶和4阶龙格—库塔公式）。 例：电路图如图所示，R=1.4Ω,L=2H,C=0.32F。初始状态：电感电流为零，电容电压为0.5V。t=0时接入1V的电压。求0t15s时i(t)和v(t)的值，并且画出电流和电容电压的关系曲线。 根据电流定律有： §6.2 控制系统的分析方法 一、控制系统的稳定性分析 由控制理论的一般规律可知：对线性系统而言，如果一个连续系统所有的极点都位于s平面的左半平面，则该系统为一个稳定系统。对离散系统而言，如果一个系统的全部极点都位于z平面的单位圆内部，则该系统是一个稳定系统。 从控制理论又可知，所谓最小相位系统首先是指一个稳定的系统，同时对于连续系统而言，系统的所有零点都位于s平面的左半平面，即零点实部小于零；对于一个离散系统而言，系统的所有零点都位于z平面的单位圆内部。 所以，只要知道了系统的模型，不论哪种形式的数学模型，都可以很方便的由MATLAB求出系统的零点、极点，从而判断系统的稳定以及判断系统是否为最小相位系统。 例1：已知某控制系统的模型为： x0=[1 0 0]’; t=0:0.1:20; initial(A,B,C,D,x0,t) title(‘The Initial Condition Response’) (2) dinitial( )—求离散系统的零输入响应。用法如下： [y,x,t]=diniial(A,B,C,D,x0) [y,x,t]=diniial(A,B,C,D,x0,n) (3) lsim( )—对任意输入的连续系统进行仿真，用法如下： [y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t) [y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0) [y,x]=lsim(num,den,u,t) 例：已知某系统如下所示 求输入为正弦波的输出响应。 程序如下： num=[1 6.8 13.85 8.05] den=[1 11.2 46.4 88.4 77.4 25.2] t=0:0.2*pi:2*pi u=sin(t) lsim(num,den,u,t) 3. 时域分析应用实例 例1：典型二阶系统如下所示： 其中ωn为自然频率（无阻尼振荡频率），ξ为阻尼系数，要求绘出当 ωn=4， ξ分别为0.1,0.2,…,1.0,2.0时系统的单位阶跃响应。 程序如下： (SysStepko.M) wn=4; kosai=[0.1:0.1:1,2]; figure(1) hold on for i=kosai num=wn.^2; den=[1,2*i*wn,wn.^2] step(num,den) end title(The Step Response of Two Order System); 在过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应具有最短的上升时间，响应速度最快；在欠阻尼（0 ξ1)响应曲线中，阻尼系数越小，超调量越大，上升时间越短。一般取ξ=0.4~0.8。 例2：对例1中的典型二阶系统，绘出当ξ=0.6时， ωn取2,4,6,8,10,12时的单位阶跃响应。 程序如下： (SysStepwn.M) w=2:2:12; kosai=0.6 figure(1) hold on for wn=w num=wn.^2; den=[1,2*kosai*wn,wn.^2] step(num,den) end title(The Step Response of Two Order System); 例3：一伺服系统的方框图如图所示，求d和e的值，使系统的阶跃响应满足：（1）超调量不大于40%，（2）峰值时间为0.8s。 由控制理论可知，对于二阶系统， 计算超调量和峰值时间的公式如下： 1+es R(s) C(s) 由此得： 伺服系统的传递函数为： 二阶系统的传递函数标准形式为： 比较二式得： os=40; tmax=0.8; z=log(100/os)/sqrt(pi^2+(log(100/os))^2); wn=pi/(tmax*sqr