第二章仿真的方法论 - read.ppt

第五章 蒙特卡罗方法导论 及仿真示例 5.1 蒙特卡罗方法导论 5.2 通信系统的蒙特卡罗仿真 5.1 蒙特卡罗方法 本节的目的是简单地介绍参数估计的蒙特卡罗方法的基础。本节不打算作严格的论述，而只是涵盖蒙特卡罗估计方法的几个重要方面。目的是给出蒙特卡罗方法的定义，并在一个简单易懂的场景中考察一些基本方法。 5.1.1 基本概念 蒙特卡罗仿真建立在几率游戏的基础上，当然正是由于这个原因，它才得此命名。“蒙特卡罗，一个以赌博著称的地中海城市。 蒙特卡罗仿真： 是指那些利用蒙特卡罗方法估计系统参数比如误比特率的仿真。 蒙特卡罗估计：则是指通过内在的随机试验来估计参数值的过程。 相对频率 蒙特卡罗估计是基于概率的相对频率解释的。为定义相对频率，第一步是确定随机试验和一个感兴趣的事件A。由基本的的概率论可知，随机试验中试验结果无法准确预测，而只能用统计的方法加以描述。一个最基本的随机试验就是掷硬币，其中感兴趣的试验结果有两个，可用集合{正面，反面}描述。在掷硬币之前，我们并不知道会出现哪一个结果，但是，如果巳知硬币是“公平”的，或者说是无 偏的，则集合 {正面，反面}中每一种结果出现的概率会 相等，并且是相互独立的。随机试验的性能决定了试验结果。 随机试验中事件可以是一个结果或几个结果的集合。以数字通信为例，随机试验可以定义为发送一个二进制数1，接收机输出端的结果为对所发送二进制符号的估计，它是二进制数0或二进制数1，我们所感兴趣的事件可能是在发送1的过程中所产生的差错。 在估计数字传输系统里的差错概率这个例子中， N是总的发送比特数或符号数(系统实际发送的或仿真的)， NA是差错发生的次数(测量出来的或仿真得到的)。 必须注意到： 1、在蒙特卡罗仿真中，显然必定有N ∞，数值NA /N就是Pr(A)的估计器，该估计器记作 。 2、由于试验的随机性，在试验次数N有限的情况下， NA是随机变量，因此 也是随机变量。该随机变量的统计性质决定了估计器的精度，因而也决定了仿真的质量。 无偏和一致估计器 蒙特卡罗估计器必须满足几个重要的性质在实际中才有用。 首先，我们希望蒙特卡罗估计器是无偏的。也就是说，如果 是参数A 的估计值，我们希望 估计值的方差会随着仿真运行时间(相应随机试验重复的次数)的增加而减少。我们把满足这一性质的估计器称为一致的。对于一致估计器，当N→∞时， →0，，其中N 代表随机试验重复的次数。而对于无偏和一致估计器，误差 蒙特卡罗估计 我们考虑确定一个形状不规则的区域的面积作为一个蒙特卡罗估计器的简单例子。假设待估计面积的区域完全包含在一个面积已知的方框中，随机试验定义为在包围方框中随机抽取采样，事件A定义为采样点落在面积待确定的区域内。要得到一个未知面积的无偏估计器，随机采样点必须均匀分布在面积已知的包围区域中，产生N=500个均匀分布采样点的结果如下图所示。 均匀分布的随机样点 面积的蒙特卡罗估计 在采样点为均匀分布这一条件下，随着采样点数的增加，近似精度会不断提高。 尽管这个例子非常简单，它却具有所有蒙特卡罗仿真的许多重要特点，其中都有一个测试条件以及两个计数器。随机试验每进行一次，第一个计数器就增加1，如果测试条件每满足一次，第二个计数器就增加1。在数字通信系统的仿真中，仿真目的是估计误比特率，测试条件就是在发送给定的比特或数据符号时是否发生了差错。在仿真中，每当发送了一个比特或数据符号，第一计数器就增加1。每当观测到一次差错，第二个计数器就增加1。 5.1.2 在通信系统中的应用 为了在一个尽可能简单的场景下研究这些重要的问题，我们假设这是一个AWGN信道。在AWGN条件下，由信道噪声所产生的差错相互独立，而且在N 次符号发送中出现的差错次数Ne可以用二项分布来描述。 二项式分布 对于相互独立的差错事件，N次符号发送中有Ne次差错的概率服从以下的二项式分布 二项式分布 服从二项式分布的随机变量的均值和方差很容易求得。Ne的均值为 在利用蒙特卡罗仿真来估计通信系统某一性能参数时，例如符号差错概率，我们都希望估计是无偏和一致的。如果估计器是无偏的，则蒙特卡罗仿真可以在平均意义下提供正确的结果。除此以外，为使估计器实用，它还必须具有小方差，这样估计值就会以较高的概率落在参数真情的附近。如果估计器具有无偏性和一致性，我们知道仿真更多的发送符号。以便记录到更多的差错，会减小