42 方差我们已经介绍了随机变量的数学期望.pptVIP

* * §4.2 方差 我们已经介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值 是不够的. 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？ 甲仪器测量结果 乙仪器测量结果 较好 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙炮 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心 中心 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. 这个数字特征就是我们要介绍的 方差 若E [X - E(X)]2 存在, 则称其为随机 称 为 X 的均方差或标准差. 1. 方差概念 定义 即 D (X ) = E [X - E(X)]2 变量 X 的方差, 记为D (X ) 或 Var (X ) D(X ) —— 描述 r.v. X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度 若 X 为离散型 r.v.，分布律为 若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x) 由定义知，方差是随机变量X的 函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 . 计算方差的一个简化公式 展开 证：D(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2 期望性质 P -1 0 1 0.1 0.8 0.1 例 例 设随机变量X的密度函数为 求D (X ). 例 设X ~ P (?), 求D ( X ). 解 例 设 X ~ U [a，b]，求DX. . 例 X ~ E (λ) , 求 E( X ) . 例 设 X ~ N ( ?, ? 2), 求 D( X ) 解 常见随机变量的方差 分布 方差 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p(1-p) B(n,p) np(1-p) P(?) ? 分布 方差 概率密度 区间(a,b)上 的均匀分布 E(?) N(?,? 2) 2. 方差的性质 (1) 设C是常数,则D(C)=0; (2) 若C是常数,则D(CX)=C2 D(X); (3) 若X与Y 独立，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y). 推广：若X1,X2,…,Xn相互独立,则 X与Y 不一定独立时， D(X1 +X2 )=？ 例 设X ~ B( n , p)，求D(X ). 解一 利用公式求D (X ). 引入随机变量 相互独立， 故 解二 利用性质求D (X ). §4.3 协方差和相关系数 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是现在要讨论的 协方差和相关系数 问题 对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布 对二维随机变量, 除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系 问题是用一个怎样的数去反映这种联系. 数 反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系 称为 X ,Y 的协方差. 记为 1. 协方差和相关系数的概念 定义 若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称 为X ,Y 的 相关系数，记为 若 称 X ,Y 不相关. Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 . 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即 求 cov (X ,Y ), ?XY 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y pij 1 0 1 0 p 0 0 q 0 p 1 p + q = 1 解 1 0 p q X Y P