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具有重叠结构的非线性吸引子的维数估计 肖加清 （武汉理工大学理学院） 摘要：本文给出了具有重叠结构的非线性吸引子的维数的下界估计。 关键词：非线性吸引子；重叠结构；Hausdorff 维数 中图法分类号：O189 文献标识码：A 1．引言 k n 设 为≥2 的正整数，I {1, 2,,n}，I k {1, 2,,n} ；若σ ∈I k ，则 σ (σ ,σ , ,σ ) 。 1 2 k 设J 为R 中的非空紧子集， n 为一族二次可微的压缩映射，且满足以下条件： {F (x )} i i 1 （1）F (J ) ⊂J ，∀∈i I ， i （2 ）∀∈i I , x ∈J ,0 a ≤ F (x) ≤b 1 。 i 由文[1]知，J 在压缩映射 n 作用下存在唯一非空紧集K ，使得 {F (x )} i i 1 n K ∪F (K ) ， i i 1 其中K 称为吸引子。 由文[2]知，若压缩族满足开集条件，则吸引子K 的Hausdorff 维数是使拓扑压力 p (s log F ) 0 s 的 的值。 若压缩族不满足开集条件，也就是具有重叠结构时，很少有文献涉及于此。此时计算吸 引子K 的Hausdorff 维数是非常困难的，也就是吸引子K 的维数几乎不能确定，只能给其 一个估计，而其上界就是满足开集条件时的维数，故只需对其下界进行估计。文[3]通过观 察压缩系统的第一级基本区间的重叠情况，得出了一个下界的估计；而本文在文[3]的基础 上通过观察其第k 级基本区间的重叠情况，利用质量分布原理，给出了其维数下界的一个 更为精细的估计,为通过计算机计算分形维数提供了一种精确的和行之有效的方法。 2 ．维数的估计 为了方便，先给出一些记号。