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从材料力学基础建立的杆系结构单元

连接了位移应变应力和节点荷载f的矩阵方程称为离散域方程。实际上是弹性力学的三大方程。运动连续方程(几何方程), * 弹性力学的三大方程,几何变形方程,材料物理方程(本构)和平衡方程 * 假设构件长度内的应力和应变是常数。 通过矩阵的运算,消除内部的应力和应变,可以得到单元的刚度方程。刚度矩阵是对称矩阵。 * 最简单的单元:杆单元。竖向力对单元刚度没有贡献。只有轴力(水平)对结构内力有贡献。 * * 其它单元:只能传递剪力的单元,土木结构较少采用。 * G为剪切模量,AS为有效剪切面积 r为平均剪切应变=剪力/(GAS) * 受扭构件 * 当构件的内力在构件内不是常数值时。各矩阵与构件的坐标相关。此时刚度矩阵不是常数矩阵,与坐标相关。其各个方程需要采用微分形式来表示各截面的情况。 * 杆系有限元 杆系结构:梁、拱、框架、桁架等,它们常可离散成杆元和梁元。 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 梁 拱 框架 ○ ○ ○ ○ ○ 桁架 杆 系 结 构 * 有限单元法的概念 通过材料力学求解和有限元求解进行比较 例:等截面直杆在自重作用下的拉伸图(a) 单位杆长重量为q,杆长为L,截面面积为A,弹性模数为E * * 2 把外载荷集中到节点上 把第i 单元和第i+1 单元重量的一半 集中到第i+1 结点上 1、离散化 等截面直杆在自重作用下的有限元法解答 * 3、假设线单元上的位移为线性函数 第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示, 用单元节点位移表示单元内部位移 * * * 有限元如何实现? Chapter 1 About Finite Element Method 分段近似 近似函数 联接简单函数 在小段区域内定义 (element) 利用每个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域 上待求的未知场函数 未知场函数(导数)在各结点上数值——自由度 有限元法的基本思路 将连续系统分割成有限个分区或单元,对每个单元提出一个近似解,再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。 * 有限元分析的基本步骤 Chapter 1 About Finite Element Method ① 离散连续体Discretize the continuum (前处理preprocessing)划分单元 ②选择插值函数 Select interpolation functions 定义节点 Assign nodes 选择插值函数Choose the interpolation function ③单元分析Find element properties 平衡方程,应力应变描述Equilibrium, expression of strains, stresses ④ 组合集成单元Assemble the element properties 获得整体系统方程to obtain the system equations The expression of the behaviour of the system * ⑤引入边界条件 Impose the boundary conditions 修改系统方程 ⑥解方程 Solve the system equations 得到未知问题的节点值 ⑦后处理 Make additional computations if desired 例如节点位移 → 应变与应力 Chapter 1 About Finite Element Method 有限元分析的基本步骤 * 材料力学公式,从本质上讲,适用于一维构件,即其中一向的尺寸(纵向)比其它两个方向(横截面)大很多。并且截面和纵向垂直。 * 需要指出:构件实际还是一种2维或者3维的构件。 * 这种构件包括:杆件、梁、只传递扭作用的次梁以及只传递剪力的次梁,可以同时考虑N,M,Q作用的梁柱单元。虽然形状相同,但是受力性能不同。 * 通常构件在节点处,通过位移自由度连接,对于杆件,桁架构件等,只考虑节点位移的传递,对于其它构件,如梁,同时还要考虑节点转角的传递。实际构件是一个三维的构件,也可以采用平面构件的性质。如果考虑曲梁等构件,则需要参考高级材料力学的一些内容,如平面拱。力和位移的关系是一一对应的关系。内力是构件内部的受力特性,包含应力和变形(应变),有两种情况,1.构件的内力形成有限的一组应力向量p,可以对截面应力进行积分得到,结构力学的一般应力,由材料特性决定,如果内力p已知,截面任意点的应力也可以得到。2. 构件的应变,用向量c表示,描述材料的变形。在构件的端点处,节点处,内力(应力)和变形(应变)具有一一对应的关系。;例如,桁架杆件的轴力和平均轴力变形以及总

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