从割线斜率到切线斜率的不等价转化及其逻辑解读.pdfVIP

58 数学通报 2011年 第 5O卷 第6期 从割线斜率到切线斜率的 不等价转化及其逻辑解读 孙 四周 (江苏教育学院附属高级 中学 210036) 自从导数进入 中学教材以来，新 的题 目层 出 行的切线．于是我们 只要使得切线的斜率恒小于 不穷．特别是一些有深厚背景、关联较多的题 目， 2即可．也就是令 f (z)2恒 成立 ，即一3．z+ 也被中学师生以简单 的导数工具来解决，显得活 2ax 2恒成立 ，即一3z +2ax一20，则 △一 泼新颖 、别开生面．但是 ，其 中的逻辑疏漏也时有 (2口)一240，从而得 一 n 发生．拉格朗 日中值定理的误用 ，就是一个很典型 的例子． Q』，， 下面是某省会城市 2009—2010学年全市高 切 线 ， 三模拟考试 中的一个考题 ，此后被多家 网站和资 料转载使用．但是 ，一年多以来 ，虽然有那么多的 ／ P，， 老师和学生研究这题 ，却没有发现它的答案是错 误的．而且同样 的错误还在其他 多个地方频繁 出 现 ，大有愈演愈烈之势．我们将从这个题 目出发 ， 图 1 解决一类 问题．为便于分析 ，先把题 目和原 “解答” 解法 1看似步步有据 ，严谨缜密 ；解法 2看似 抄录如下 ： 灵巧 自如、不落俗套．但是，不论是解法 l还是解 题 目 已知函数 f(x)一一 。+az。+b(“，b 法2，结果都是错误的(正确答案是：一√6≤n≤ ∈R)．若函数 一厂(z)的图象上任意不同的两点 √6)．特别是解法 2，存在着一个不易觉察的逻辑 连线的斜率都小于 2，求 n的取值范围． 错误，简直不能称作是一种解法．请看下面的 解法 1 设函数Y一-厂()的图象上任意不同 分析 ： 的两点 P (1zl，Y)、P2(z2，Y2)，不妨设 z1z2， Vz ，z2∈R，且 zz2，显然函数 ．厂(z)在区 则 2即二生 堕±堕 堕 2 ， 间[-X ，z]上连续且在 (z ，z)内可导．根据拉格 故二三[垒 ± ± 兰 2 朗 日 中 值 定 理 ，必 了 ∈ (37．，37,) ，使 Z 1一 Z2 上二 ：：：，，() ． 也就是说 ，对于任意 的割 整理得 ：；十(z2一n)z1+z；一n2+2O JL2 l 因为 】∈R，所 以A】一 (z2一a)一4(z；一 线PQ ，总存在切线的斜率等于割线的斜率(如图 口z2+2)d0即 3x；～2ax2一口。+80． 1)．但是，若据此