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矩阵分析与应用 第四讲 线性变换之二 信息工程学院 吕旌阳 2006-12-1 本讲主要内容 线性变换在给定基下的矩阵 线性变换的矩阵表示 象与原象坐标间的关系 线性变换在不同基下矩阵之间的关系 线性变换的特征值与特征向量 2006-12-1 x , x , , x n n 设 1 2 n 是线性空间V 的一组基，T为V 的线性变换. 则对任意 x ∈Vn 存在唯一的一组数 k ,k , ,k ∈K , 使 x k x +k x ++k x 1 2 n 1 1 2 2 n n T( x) k T( x ) +k T( x ) ++k T( x ). 从而， 1 1 2 2 n n 由此知， 由T ( x ), T ( x ), , T ( x ) 完全确定. T ( x) 1 2 n 2006-12-1 x , x , , x T ,T 设 1 2 n 是线性空间V 的一组基， 为 1 2 V 的线性变换，若T ( x ) T ( x ), i 1,2, , n. 1 i 2 i 则 T T 1 2 证：对∀x ∈V, x k x =+k x ++k x 1 1 2 2 n n T x ＝k T x +k T x ++k T x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 2 n 1 n T x ＝k T x +k T x ++k T x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 n 2 n T x ＝T x 由已知，即得 1 ( ) 2 ( ) ∴ T T 1 2 由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定. 2006-12-1 设x , x , , x 是线性空间V 的一组基，对V 中 1 2 n 任意n个向量α ,α , ,α , 都存在线性变换T使