理解数字信号处理中的频率域－.PDF

理解数字信号处理中的频率域 （－） 工程师们在初学DSP 的时候，常常能看到类似下面的图来描述离散信号x(n) 以及它的频谱。如图 1 所示，x(n)是一个离散的正弦信号，频率是400Hz ，采样率是1000Hz，图1(b)是它的频谱。 (a) (b) 图1 离散序列和它的频谱 这样的图有很多令人困惑的地方，尤其是那些熟悉模拟信号的工程师们。比如，一个连续正 弦信号x(t) ，如果频率是400Hz ，也就是x(t) = sin(2400t) ，为什么在离散采样之后，会在那么多 的频率点上有值？而且不光是正频率，连负频率上也有值？如果频率是信号周期的倒数，为什么 频率可以为负？ 正统的教科书里的解释大概是这样的，对连续正弦信号进行采样相当于是用一个冲击串与连 续正弦信号相乘，时域相乘相当于是频域卷积，而时域冲击串的频谱也是一个冲击串，正弦信号 的频谱本来就是在一正一负的频率点上有值，这样频谱卷积出来的结果就是在很多频率点，包括 很多负频率点上都有值了。 这里的每一步都会有数学公式加以证明推导，用来保证其正确性。不过，这样的解释虽然严 谨，却不够直观。下面，我们尝试换一个角度来理解图1 中的离散信号的频谱所表示的含义，希 望对大家有所启发。 首先，我们回顾连续信号的采样过程。我们把一个连续信号或者说模拟信号x(t)通过A/D 转换 和采样变成数字信号，产生x(n)序列，供计算机后续处理。 连续信号x(t) x(n) A/D 转换 计算机 产生频率为fs 晶振 赫兹的方波 图2 对连续信号的周期采样 这里n 是一个无量刚的整数，用来表示时域上的索引，就象t 用在连续信号的表示中一样。x(n)序 列就是连续信号x(t)在时间间隔t 的各个整数倍处的值，即x(n*t ) 。这里的t 称为采样周期，即两 s s s 个采样之间的间隔，以秒作为单位。而采样频率f ，就是采样周期的倒数，f =1/t 。f 以“采样/ s s s s 秒”为单位，但有时我们也以赫兹作为它的单位。 假定现在以f =1000Hz 的采样频率对一个400Hz 的连续正弦信号x(t)进行采样。图3(a) 中的黑 s 线和黑点分别表示连续正弦信号x(t)和离散时间采样序列x(n) 。采样周期ts =1/ fs = 1 ms 。如图所 示，x(n)序列中的前三个点分别是x(0) = 0, x(1) = 0.59, x(2) = –0.95。 (a) (b) (c) 图3 对连续正弦波离散化所带来的频率不确定性 (a) 400Hz (b) 1400Hz （虚线）(c) –600Hz （虚线） 但是，当连续正弦信号的频率变成1400Hz 时，如果仍以1000Hz 的采样频率采样，我们会发 现采样得到的x(n)序列和第一个序列相比并没有变化，如图3(b)中所示。其中的虚线表示频率为 1400Hz 的连续正弦信号。