推导印证扭扭车的S形轨迹 - 旺宏教育基金会.PDFVIP

第九屆旺宏科學獎 成果報告書 參賽編號：SA9-351 作品名稱：推導印證扭扭車的 S 形軌跡 姓名：楊子玄 關鍵字： _扭扭車_ 、_包絡面 _ 、_S 形軌跡_ 1 推導印證扭扭車的 S 形軌跡 摘要 所有的交通工具中，無須電力、馬達，小孩可以載大人，可前進、後退，只有扭扭 車 twist car1 。我們在地上平鋪複寫紙、壁報紙，人乘坐扭扭車即可滾出軌跡，從軌跡發 現扭扭車從靜止啟動是利用左、右前輪摩擦力不同前進，如果把手慢速小角度左、右轉 動，則前輪、後輪軌跡為「S 」型平滑曲線，如果把手快速、大角度左右轉動，則前輪、 後輪為平滑軌跡中隱藏不連續的「圓弧折線」。我們推論車身運動的軌跡與彎矩有關， 可用撓度 deflection 解釋，而輪的軌跡為正弦函數的垂直包絡面，用惠更斯 Christian Huygens 提出的「波動說」解釋，我們不但用數學軟體 GeoGebra 畫出各種運動模式的軌 跡，也自製可輸入程式的動力扭扭車滾出相同軌跡，印證我們的理論具有普遍性與再製 性。 壹、研究動機 扭扭車(Fig.01)結構簡單無須電力、馬達，即可前進、後退、原地轉彎，是很普通的 玩具 1 。即使五歲大的幼兒用小小的力量，可以搭載大人，不斷扭來扭去做「S 」字型的 前進、後退，真是太神奇了！使我們想了解：扭扭車如何前進（後退）？是什麼因素影 響扭扭車的軌跡？能否用可輸入程式的動力扭扭車，也滾出類似軌跡？關於扭扭車的軌 跡的參考文獻只有 2002 年 42 屆中區科展「扭扭車的前進後退原理」2 ，提到扭扭車利用 前輪摩擦力不同前進，但無法畫出連續軌跡。如何用物理觀念配合數學軟體 GeoGebra ， 畫出扭扭車的連續軌跡，是我們的挑戰。 貳、實驗器材 Fig.01 ：大型扭扭車（左圖，耐重120 ㎏），自製可輸入程式的動力扭扭車（右圖） 2 參、實驗原理： 一、扭扭車的構造與代號 扭扭車的結構可視為”T”字型(Fig.02,03) ，即後輪C 、D 與車身 PK 保持垂直，前輪 A 、B 與轉軸 K 約為正三角形△KAB ，邊長為R=13 ㎝，車身 KP 距離 L=47 ㎝，後輪距離 2b ＝ 32 ㎝。 Fig.02 ：扭扭車「前進」底面圖（右圖），前輪位於轉動軸K 與後輪之間，等效車身 MP 減少，容易前進轉彎。 Fig.03 ：扭扭車「後退」底面圖（右圖），轉動軸K 位於前輪與後輪之間，等效車身 MP 增加，容易大角度後退。 3 二、實驗方法 1. 在地上舖複寫紙，再舖壁報紙，人坐扭扭車滾過壁報紙，留下左、右相反的印 痕，與理論作圖印證。 2. 用可輸入程式的動力扭扭車，也滾出類似軌跡，說明軌跡可重複印證。 三、理論推導 軌跡分 2 類討論：[1]從靜止啟動、[2]扭扭車前進(後退) [1] 扭扭車從靜止啟動，一輪固定一輪滑動，可獲得較大的摩擦力，很容易由複數平面， 畫出後輪軌跡為「扇形圓弧」。 假設：扭扭車前輪旋轉角度 α ，後輪旋轉角度β ，由車身「T 」型與 ΔKAB 結構 (Fig.04) ，依順序決定各點相對於原點座標： 左後輪C 逆時針轉90°+β 左前輪A ⎫ 中點 ⎧ 轉α角 ⎧ ⎬⎯⎯→⎯ P →K ⎨ ⎯⎯⎯→M ⎨ 右後輪D ⎭ ⎩順時針轉 90°- β 右前輪B ⎩ Fig.04 ：訂複數平面，決定各點座標 訂複數平面：左後輪 C1 ＝(-b,0) ，以2b 為半徑，畫