小船渡河——数学建模11.docxVIP

2．一只小船渡过宽为d的河流，目标是起点A正对着的另一岸B点，已知河水流速v1与船在静水中的速度v2之比为k，（1）建立小船航线的方程，求其解析解；（2）设d=100,v1=1m/s,v2=2m/s，用数值解法求渡河所需时间、任意时刻小船的位置及航行曲线，作图，并与解析解比较。（3）若流速v1为0，0.5，1.5，2 (m/s)，结果将如何.模型建立：如图所示，以B为原点，沿河岸向右为x轴正向，垂直河岸向下为y轴正向，建立坐标系。设在t时刻，船在x方向上的位移是x(t)，在Y方向上的位移是y(t)。在t时刻，船在x方向上的速度是x(t)，在y方向上的速度是y(t)，将船的速度v和水度v1在x,y轴方向上分解，可得：v x=v1-v2sinv y=-v2 cos又因为船头始终指向B点，所以：1、解析解:令 x= r?sin; y=r?cos,将直角坐标化为极坐标，由导数的的链式法则，我们可以得到：dx?? sin??? dr?? r?? cos?? ddy?? cos?? dr?? r?? sin??? d由于 dx?? vxdt, dy?? vydt，代入上式，可得：vxdt?? sin??? dr?? r?? cos? dvydt?? cos?? dr?? r?? sin?? d最终解得：(其中k=)MATLAB仿真:我们可以通过MATLAB观察小船的运动轨迹：a=pi/2:-0.01*pi:0; d=100; k=2;r=d*abs(tan(a/2).^k./sin(a));polar(a,r,-o)hold onk=1;r= d*abs(tan(a/2).^k./sin(a));polar(a,r,.) k=5;r=d*abs(tan(a/2).^k./sin(a));polar(a,r,-^) k=0.8;r=d*abs(tan(a/2).^k./sin(a));polar(a,r,‘-*’) legend(k=2,k=1,k=5,k=0.8) 解析解结论:由于当趋近于0时，r的极限存在与否与k有关，即： 0, k1 = , k=1 (其中k=),k1由于x= r?sin; y=r?cos，最终可以得到小船运动轨迹的参数方程为：x=d?tank()?coty=d?tank() (其中k=)2、数值解:下面将用龙格-库塔方法（ode45）对微分方程和微分方程组进行近似求解。源程序如下：％fun.m％此函数是微分方程组function Xdot＝fun(t，x，v1，v2)d=100，v1=1，v2=2；if (norm(x)1e-5)Xdot[v1-v2*x(1)/sqrt(x(1).^2+x(2).^2),-v2*x(2)/sqrt(x(1).2+x(2).^2];elseXdot=[0,0];endhold off;x0=[0,-d];[t,x]=ode45(@fun,[0,1000],x0,[], v1, v2);plot(x(:,1),x(:,2),’r’);hold on;[t, x(:,1),x(:,2)]％下面是作出精确解的图像Seta=linspace(-pi/2,0,100);d=100, v1 =1, v2=2;rou=d*(abs(tan(seta/2))).^ ( v2/v1)/sin(seta);xp=-rou.*cos(seta);yp=-rou.*sin(seta);plot(xp,yp,’r*’);图3 v1=0时渡河路线图2 v1=1时渡河路线图4 v1=0.5时渡河路线图5 v1=1.5时渡河路线图7 v1=2.5时渡河路线图6 v1=2时渡河路线注：在fun.m 中, 加入了(norm(x)1e- 5)的限制条件, 以保证在船离B 点足够近时中止运算, 否则无法得出正确结果。依次修改参数, V1运行结果如下:图2 所示为v1=1 的渡河路线, 所用时间为: 66.7 秒。图3 所示为v1=0 时的渡河路线, 说明在静水中, 船沿直线到达B 点。这与直观经验相符合, 渡河时间为50 秒。图4 所示为v1=0.5 时的渡河路线, 渡河时间为: 53.3 秒。图5 所示为v1=1.5 时的渡河路线, 渡河时间为: 114.3 秒图6 所示为v1=2 时的渡河路线, 从图上看出, 到t=1000 秒时, 船已到达对岸, 但是并没有到达B点, 而是在B 点下游50 米处。由于船头指向B 点, 即船头指向逆流方向, 且船速( 静水) 等于水速, 可知船将保持原地不动。也就是说, 船永远到达不了B 点。所以渡河时间为无穷大。图7 所示为v1=2.5 时的渡河路线, 渡河时间与v1=2 时情况类似, 船能到达对岸, 但是在B 点下游。由于船速( 静水) 小于水速